Convergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n}+(-1)^{n-1})^p}}$

Question

Encuentre $p$ que hace $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\dfrac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+(-1)^{n-1})^p}}$ convergen. Qué $p$ hace que la serie converja absolutamente?

Creo que converge para $p>0$ , puedo usar: ${\dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt{n} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}} \right)}^p}}}} \sim \dfrac{1}{{{n^{\frac{p}{2}}}}}$ para concluir que la serie converge absolutamente para $p>2$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Contesta en los comentarios, pero hagámoslo explícitamente.

$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ converge si y sólo si $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$ y $\sum\limits_{n=1}^\infty(a_{2n-1}+a_{2n})$ converge.

Para $a_n=(-1)^{n-1}\big(\sqrt{n}+(-1)^{n-1}\big)^{-p}$ esto se traduce en [ $p>0$ y] $\color{blue}{p>1}$ ya que $$a_{2n-1}+a_{2n}=f(1/\sqrt{2n}),\quad f(x):=x^p\big((\sqrt{1-x^2}+x)^{-p}-(1-x)^{-p}\big),$$ para que $\lim\limits_{x\to0^+}x^{-p-1}f(x)=-2p$ y terminamos con la prueba de comparación, con $\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-(p+1)/2}$ .

Answer 2

Para $n\geq 1$ , dejemos que $u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+(-1)^{n-1})^p}$

1) Para $p<0$ tenemos

$u_n=(\sqrt{n})^{-p}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^{-p}$

Así que $u_n \sim (-1)^{n-1}(\sqrt{n})^{-p}$ ( $n\rightarrow +\infty$ )

así que $\lim_{n\rightarrow +\infty} |u_n|=+\infty$

Así $(u_n)$ no tiende a 0.

La serie es divergente.

2) Para $p=0$ , $u_n=(-1)^{n-1}$

Sabemos que la serie es divegente.

3) Supongamos $p>0$

Tenemos $u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n})^p}.\frac{1}{\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^p}$

Deducimos que

$|u_n| \sim \frac{1}{n^{p/2}}$ ( $n\rightarrow +\infty$ )

Así que la serie $\sum u_n$ es absolutamente convergente si y sólo si $p/2>1$ si y sólo si $p>2$ .

Pero absolutamente convergente implica convergente

4) Supongamos $0<p\leq 2$

Hacemos una expansión en serie para $n\geq 2$

$\frac{1}{\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^p}=\sum_{k=0}^{+\infty} {-p \choose k}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^k$

Multiplicar por $\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p/2}}$ el poder sobre $n$ es $\frac{p}{2} +\frac{k}{2}=\frac{k+p}{2}$

y $\frac{k+p}{2}>1\Leftrightarrow k>2-p$

Así que para $k\geq 2$ habrá convergencia absoluta

$\frac{1}{\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^p}=1-p\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right)$

$\frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n})^p}.\frac{1}{\left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\right)^p}=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p/2}}-p\frac{1}{n^{(p+1)/2}}+O\left(\frac{1}{n^{p/2+1}}\right)$

El último término es de la forma $\frac{b_n}{n^{p/2+1}}$ con $(b_n)$ una secuencia limitada por un número real $M$ . Sin embargo, la serie $\sum \frac{M}{n^{p/2+1}}$ es absolutamente convergente porque $p/2+1>1$ Así que $\sum \frac{b_n}{n^{p/2+1}}$ es absolutamente convergente.

La serie $\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p/2}}$ es una serie alternativa de Riemman con $p/2>0$ por lo que es convergente.

Por último, la serie Riemman $\sum \frac{1}{n^{(p+1)/2}}$ con términos positivos es convergente si y sólo si $(p+1)/2>1$ es decir $p>1$ .

Podemos concluir que la serie $\sum u_n$ es convergente si $1<p\leq 2$ como suma de series convergentes.

y divergente si $0<p\leq 1$ como la suma de una serie divergente y otras convergentes.