Cuál es el polinomio de Hilbert de la diagonal dentro del producto del espacio proyectivo

Question

Sea $\Delta$ sea la diagonal en $\mathbb{P}^r\times\cdots\times\mathbb{P}^r$ ( $k$ veces), es decir, $\Delta=\mbox{Proj}S/I$ donde $S$ es el álgebra k multigradual $S=k[X_0^1,\cdots,X_r^1,\cdots, X_0^k,\cdots,X_r^k]$ y $I=\langle X_i^{a}X_j^b-X_j^aX_i^b\mid \mbox{ for } 0\leq a,b\leq k \mbox{ and } 0\leq i,j\leq r \rangle$ .

Sé que el polinomio de Hilbert multigradado de $\Delta$ es $H_{\Delta}(d_1,\cdots,d_k)={d_1+\cdots d_k+r\choose r}$ .

Nunca he visto una prueba de este hecho y he intentado utilizar el álgebra combinatoria conmutativa para intentar demostrarlo, pero no he podido.

Tal vez haya alguna secuencia exacta que lo resuelva.

Estaré encantado de que me ayuden con cualquier idea o solución. Gracias.

Answer 1

Basta con señalar que $$ \mathcal{O}(d_1,\dots,d_k)\vert_\Delta \cong \mathcal{O}(d_1 + \dots + d_k). $$ Por lo tanto $H_\Delta(d_1,\dots,d_k) = H_{\mathbb{P}^r}(d_1 + \dots + d_k)$ .