Clasificación de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / \langle (n,n,n) \rangle$

Question

Quiero clasificar los grupos abelianos de la forma

\begin{align} \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / \langle (n,n,n) \rangle \end{align} utilizando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.

De mi post anterior Clasificación $ \frac{\mathbb{Z} \times\mathbb{Z}}{\langle(n,n)\rangle}$ mediante el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados Entiendo por $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} / \langle (n,n) \rangle \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_n$ .

La forma más fácil de verlo es considerando sus generadores. $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = \langle (1,1), (1,0) \rangle$ y modificando $n(1,1)$ Tengo la expresión anterior.

¿Se puede aplicar el mismo procedimiento para los casos de rango superior? Me refiero a la generalización de $\mathbb{Z}^k$ mod por grupo generado por $n(1,\cdots, 1)$ ?

Para $k=3$ , $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} = \langle (1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)\rangle $ y en este tiempo no puedo mod $(1,1,1)$ libremente....

Answer 1

Como se dice en los comentarios, puedes utilizar la forma normal de Smith para obtener tu resultado. Sin embargo, podemos simplemente observar que $e_1=(1,1,\ldots ,1),e_2=(0,1,0,\ldots,0),\ldots, e_k=(0,0,\ldots,0,1)$ es una base de $\mathbb{Z}^k$ (fácil: la matriz de cambio de base es triangular superior con determinante $1$ ).

Por lo tanto $\mathbb{Z}^k=\mathbb{Z}e_1\oplus\mathbb{Z}e_2\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}e_k$ mientras que $\mathbb{Z}(n,n,\ldots,n)=n\mathbb{Z}e_1\oplus\mathbb{Z}e_2\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}e_k$ .

El primer teorema de isomorfismo aplicado a $f:\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i e_i\in \mathbb{Z}^k\mapsto (\overline{a}_1,a_2,\ldots,a_k)\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{k-1}$ muestra que su grupo cociente es isomorfo a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{k-1}.$