Cómo mostrar $[i]+[j]= [i+j]$ y $[i][j]= [ij]$ donde $[i], [j]$ pertenecen al conjunto de clases de congruencia de mod $n$ ?

Question

Estaba leyendo sobre la congruencia modulo $n$ en Los números enteros de Temas de álgebra por I.N. Herstein después de demostrar que la relación de congruencia módulo es equivalente, introdujo el conjunto de todas las clases de congruencia, a saber. $J_n$ como:

[...] Sea $J_n$ sea el conjunto de las clases de congruencia mod $n$ Eso es, $J_n = \{[0],[1],\ldots, [n-1]\}\:.$ Dados dos elementos, $[i]$ y $[j]$ en $J_n,$ vamos defina \begin{align}[i]+[j] &= [i+j]\tag a\\ [i][j]&= [ij]\tag b\end{align} [...]

Luego dijo que se puede demostrar que están bien definidas y apuntó algunas propiedades que quedan como ejercicio.

Sin embargo, no entendí cómo el autor se motivó por " definición de " lo que sean de esa manera por encima.

No nos dijo por qué son ciertas ni si son válidas; la definición salió de la nada.

¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre cómo demostrar que las relaciones son ciertas? ¿O es que son definido ¿Y?

Answer 1

El objetivo es dotar $J_n$ con una estructura anular. En efecto, para tener un anillo se necesitan dos operaciones y se puede comprobar que se verifican los axiomas del anillo, siendo el neutro para la suma $[0]$ y siendo el neutro para la multiplicación $[1]$ .

La dificultad estriba en asegurarse de que la definición está bien definida. Esto significa que no importa el valor de $i+j$ que no es necesariamente $\lt n$ obtenemos $[i+j]\in J_n$ y lo que obtenemos es único. Es obvio, pero hay que señalarlo.