La teoría estándar de las representaciones de Galois se ocupa de las acciones de los grupos de Galois absolutos de campos numéricos sobre grupos abelianos (en particular, espacios vectoriales). La geometría anabeliana trata de las acciones (por automorfismos externos) del mismo grupo de Galois absoluto sobre el grupo fundamental étale de variedades que están "muy lejos de ser abelianas" (de ahí el nombre de "anabelianas"), por lo que las dos teorías parecen ir en direcciones bastante opuestas. Por tanto, para obtener aplicaciones de los métodos anabelianos a la representación de Galois, hay que dejar de lado gran parte de la "anabelianidad".
La acción externa del grupo de Galois absoluto $G_K$ sobre el grupo fundamental $\pi_1(X_{\bar K})$ induce una acción sobre el cociente de $\pi_1$ por cualquiera de sus subgrupos característicos. Si se hace el cociente $\pi_1(X_{\bar K})$ por su subgrupo derivado, se obtiene $H_1(X_{\bar K})$ y, básicamente, se vuelve al estudio de la acción de los grupos de Galois sobre la cohomología de las variedades, con lo que se ha perdido por completo cualquier aspecto anabeliano.
En su lugar, puedes cociente $\pi_1(X_{\bar K})$ por el subgrupo característico más pequeño tal que el cociente sea nilpotente. El cociente resultante, $\pi_1^{nil}$ es un grupo nilpotente con acción de $G_K$ y puedes estudiarlo. Esto se hizo en el caso en que $X$ es la línea proyectiva menos tres puntos (posiblemente la curva anabeliana más simple) por Deligne en su artículo "le groups fundamental de la droits projective moins trots points", en el libro "Galois groups over $\mathbb Q$ ", de una conferencia celebrada en 1987. El grupo $\pi_1^\nil$ es mucho más complicada y rica que la abeliana $H_1$ (sólo un grupo abeliano libre con dos generadores en cualquier categoría que se quiera considerar) pero sigue siendo nilpotente, así que, como dice Deligne, "lejos del sueño anabeliano de Grothendieck". La recompensa que se obtiene sobre las representaciones de Galois a partir de este trabajo y los posteriores es una construcción geométrica de todas las extensiones de "buenas reducciones" de las representaciones de Tate, lo cual es bastante importante. Creo que se puede demostrar la existencia de muchas de esas representaciones por el método tradicional de las representaciones de Galois (con deformaciones de Galois, por ejemplo), pero no estoy seguro de que existan todas, y en cualquier caso es mejor tener una construcción geométrica.
