¿Existe una explicación sencilla que demuestre por qué el Teorema Fundamental del Álgebra no puede demostrarse sin resultados del Análisis?

Question

Un "reto" que los estudiantes de posgrado suelen hacer en Álgebra para los estudiantes que hacen un primer curso de álgebra es: "Demostrar la Teorema fundamental del álgebra sin utilizar los resultados del análisis".

Para estudiar el análisis son necesarios axiomas que definan campos (axiomas algebraicos) y el axioma supremo (un axioma puramente analítico).

Es bien sabido que el axioma supremo implica el Teorema del Valor Intermedio. De ahí se sigue el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio y el Teorema Fundamental del Cálculo, y etc...

Lo que podemos entender sobre este 'reto' folclórico podemos utilizar todos los axiomas de campos y equipado con una construcción algebraica de los anillos de polinomios en una variable para demostrar el teorema. Sin embargo no podemos utilizar el axioma del supremo y ninguna de sus consecuencias.

La pregunta que se me ocurre es: ¿sería posible demostrar el Teorema Fundamental del Ágebra sin utilizar el axioma del supremo?

Siempre veo en los libros que la respuesta a esta pregunta es no. Mi pregunta es:

¿Existe una explicación sencilla ( o intuitiva ) que demuestre por qué el Teorema Fundamental del Álgebra no puede demostrarse sin un análisis de resultados como el descrito anteriormente?

Gracias

Answer 1

De la página wiki sobre el teorema fundamental del álgebra :

"A pesar de su nombre, no existe una demostración puramente algebraica del teorema, ya que cualquier demostración debe utilizar la completitud de los reales (o alguna otra formulación equivalente de la completitud), que no es un concepto algebraico. Además, no es fundamental para el álgebra moderna; su nombre se le dio en una época en la que el estudio del álgebra se ocupaba principalmente de las soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales o complejos."

¿Por qué no se considera sencilla, por ejemplo, la demostración del teorema fundamental del álgebra mediante el Teorema de Liouville? Después de todo, ¿no es natural intentar utilizar el análisis complejo para demostrar un teorema que dice que un polinomio tiene todas sus raíces en el plano complejo? Puedes encontrar un montón de pruebas diferentes aquí . La primera línea de ese enlace puede ser una respuesta parcial:

"Todas las pruebas a continuación implican algún análisis, o al menos el concepto topológico de continuidad de funciones reales o complejas. Algunas utilizan también funciones diferenciables o incluso analíticas. Este hecho ha llevado a algunos a comentar que el Teorema Fundamental del Álgebra no es ni fundamental, ni un teorema del álgebra."