Conjetura: La taza de café de forma óptima tiene la misma superficie media que una esfera del mismo radio máximo.
Encontrar la forma óptima de una taza de café para conservar el calor. Suponiendo que
- Un flujo constante de café fuera de la taza.
- Todas las superficies irradian calor por igual, es decir, la superficie del líquido, el fondo del vaso y los lados del vaso.
- El café se bebe lo suficientemente rápido como para que la diferencia de temperatura entre el café y el entorno pueda ignorarse o asumirse como constante.
Así que sólo tenemos que minimizar la superficie media como el líquido drena
He calculado las 2 ecuaciones alternativas siguientes para la superficie media a lo largo de la vida del líquido en el vaso (véanse a continuación las derivaciones):
$$ S_{ave} =\pi r_0^2+ \frac{\pi^2}{V}\left(\int_{0}^{h}{{r(s)}^4ds}+2\int_{0}^{h}{\int_{0}^{s}{r\sqrt{1+\left(\frac{dr}{dz}\right)^2}\ dz\ }{r(s)}^2ds\ }\right) $$
$$ S_{ave}=2\pi\ r_0^2+\frac{\pi^2}{V}\int_{0}^{h}\left(r\left(s\right)^4ds+2r(s){\underbrace{\int_{h}^{s}{{r\left(z\right)}^2dz\ }}_{VolumeDrunk}}\sqrt{1+\left(\frac{dr}{ds}\right)^2}\right)ds $$
Si el volumen del vaso es constante
$$ V=\pi\int_{0}^{h}{{r(z)}^2dz\ }$$
¿Puede la función, $r(z)$ que minimice la superficie media $S_{ave}$ ?
Si r se expresa como una ecuación paramétrica de la forma $r=f(t), z=g(t)$ y $f,g$ son polinomios entonces una búsqueda genética encontró la mejor función de polinomios paramétricos para ser: $r\left(z\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}z^\frac{1}{2}-\frac{\sqrt6}{9}z^\frac{3}{2}, f\left(t\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}t-\sqrt{\frac{3}{2}}t^3, g\left(t\right)=\frac{9}{2}t^2$
Esta forma paramétrica se muestra aquí: 
No puedo demostrar que haya (o no haya) un mejor $r(z)$ pero...
la superficie media de esta superficie resulta ser $12.723452r^2$ o $4.05\pi r_{max}^2$ . Sospecho que la superficie óptima tendrá la misma superficie que una esfera, es decir $4\pi r_{max}^2$ $(12.5664)$
Derivación de la fórmula de superficie:
La superficie cuando la superficie del líquido está en el nivel s es la suma de las superficies del disco superior, del disco inferior y de los laterales.
$S(s)=\pi r_0^2+\pi r_s^2+2\pi\int_{0}^{s}{r(z)dldz}$
$S(s)=\pi r_0^2+\pi r_s^2+2\pi\int_{0}^{s}{r(z)\sqrt{1+\left(\frac{dr}{dz}\right)^2}\ dz\ }$
La superficie media será la suma de todas las As multiplicada por el tiempo de permanencia en cada superficie.
$S_{ave}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_h}{S(s)dt\ }$
Para que la tasa de drenaje sea constante, necesitamos que el caudal Q sea constante, es decir, que la tasa de cambio de volumen sea constante y $Q=dV/dt =V/T$
Tiempo de permanencia en un determinado nivel de líquido $dt\ =\frac{T}{V}dV$ y $ dV={\pi r}^2ds$
$dt=\frac{T\pi r^2}{V}ds$
$S_{ave}=\int_{s=0}^{s=h}{S(s)\frac{T\pi{r(s)}^2}{V}ds\ }$ $S_{ave}=\frac{\pi}{V}\int_{s=0}^{s=h}{(r_0^2+r(s)^2+2\int_{z=0}^{z=s}{r(z)\sqrt{1+(\frac{dr(z)}{dz})^2}\ dz\ })\pi{r(s)}^2ds\ }$
$S_{ave}=\frac{\pi}{V}r_0^2\int_{0}^{h}{\pi{r(s)}^2ds}+\frac{\pi}{V}\int_{s=0}^{s=h}{\left(r\left(s\right)^2+2\int_{z=0}^{z=s}{r(z)\sqrt{1+(\frac{dr(z)}{dz})^2}\ dz\ }\right)\pi{r(s)}^2ds\ }$
$S_{ave}=\pi\ r_0^2+\frac{\pi^2}{V}\int_{s=0}^{s=h}{\left(r\left(s\right)^2+2\int_{z=0}^{z=s}{r(z)\sqrt{1+\left(\frac{dr(z)}{dz}\right)^2}\ dz\ }\right){r(s)}^2ds\ }$
Derivación de fórmulas alternativas:
La superficie de la cinta resaltada en el diagrama es:
$S_{ribbon}=2\pi rdl$
Y la contribución a la superficie media dura la relación entre el volumen del líquido por encima del nivel actual y el volumen total.
$$S_{sides}=2\pi\frac{\pi}{V}{\underbrace{\int_{h}^{s}{{r\left(z\right)}^2dz\ }}_{Volume\ Drunk}}rdl=\frac{2\pi^2}{V}{\underbrace{\int_{h}^{s}{{r\left(z\right)}^2dz\ }}_{Volume\ Drunk}}r\left(s\right)\sqrt{1+\left(\frac{dr}{ds}\right)^2}ds$$
Integrar la contribución de todas esas secciones.
$$S_{sides}=\frac{2\pi^2}{V}\int_{0}^{h}{r\left(s\right){\underbrace{\int_{h}^{s}{{r\left(z\right)}^2dz\ }}_{Volume\ Drunk}}\sqrt{1+\left(\frac{dr}{ds}\right)^2}ds}$$
La contribución de las superficies superiores a la superficie media es el área de la parte superior por la proporción de volumen que es el área x dz:
$$S_{tops}=\frac{1}{V}\int_{0}^{h}{\pi{r(s)}^2{\pi r(s)}^2}ds$$
La contribución de la superficie inferior es constante $2\pi r_0^2$ así que sumando los tres da:
$$S_{ave}=2\pi r_0^2+\frac{\pi^2}{V}\int_{0}^{h}\left(r\left(s\right)^4ds+2r(s){\underbrace{\int_{h}^{s}{{r\left(z\right)}^2dz\ }}_{Volume\ Drunk}}\sqrt{1+\left(\frac{dr}{ds}\right)^2}\right)ds$$
