¿Difícil derivado?

Question

Estoy en un curso de cálculo de una sola variable, en el que recientemente hemos tratado la diferenciación logarítmica. El profesor demostró que funciona cuando $f(x)>0$ y cuando $f(x)<0$ . He estado tratando de encontrar una manera de derivar ese tipo de función cuando $f(x)=0$ pero no estoy seguro de si es posible, o qué. He pensado en este ejemplo, que resiste todos mis esfuerzos para diferenciar, pero parece ser diferenciable, (e incluso parece tener un valor de cero).

Encuentre

$$f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)\quad \rm where \quad f(x)=(\sin{x} + 1)^x .$$

¿Hay alguna forma de encontrar esta derivada (si existe), más allá de calcular numéricamente el límite a partir de la definición de la derivada? O, viceversa, ¿cómo puedo demostrar que esta derivada no existe?

T Reggie

Answer 1

Curiosamente, este es un caso en el que conviene volver a la definición de la derivada:

$$f'\left({3\pi\over2}\right)=\lim_{h\rightarrow0}{f\left({3\pi\over2}+h\right)-f\left({3\pi\over2}\right)\over h}$$

No tienes que hacer ningún cálculo numérico. Tenga en cuenta que $\sin({3\pi\over2}+h)=-\cos h$ por lo que para $f(x)=(1+\sin x)^x$ la definición pasa a ser

$$f'\left({3\pi\over2}\right)=\lim_{h\rightarrow0}{(1-\cos h)^{{3\pi\over2}+h}\over h}$$

desde $f({3\pi\over2})$ es claramente $0$ . Pero para (pequeñas) $h$ tenemos $$0\lt|1-\cos h|^{{3\pi\over2}+h}\lt|1-\cos h|$$ desde $|1-\cos h|\lt1$ y $3\pi/2\gt1$ de donde, utilizando la definición de la derivada de la función coseno y el hecho de que $(\cos x)'=-\sin x$ se deduce que

$$0\le \lim_{h\rightarrow0}\left|{(1-\cos h)^{{3\pi\over2}+h}\over h}\right|\le\left|\lim_{h\rightarrow0}{1-\cos h\over h}\right|=|\sin0|=0$$

de ahí

$$ f'\left({3\pi\over2}\right)=0$$

Answer 2

$$\log{f(x)} = x \log{(\sin{x}+1)}$$

$$\frac{d}{dx} \log{f(x)} = \log{(\sin{x}+1)} + \frac{x \cos{x}}{\sin{x}+1} = \frac{(\sin{x}+1)\log{(\sin{x}+1)}+x \cos{x}}{\sin{x}+1} $$

Ahora,

$$\frac{d}{dx} \log{f(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

para que

$$f'(x) = (\sin{x}+1)^{x} \log{(\sin{x}+1)}+ (\sin{x}+1)^{x-1} x \cos{x} $$

Obsérvese que se ha tratado de una mera manipulación sin tener en cuenta dónde $f'$ puede existir, etc. Sin embargo, como usted está interesado en el valor en $x=3 \pi/2$ , $x \gt 0$ de modo que el factor $(\sin{x}+1)^{x}$ llega a cero más rápido que $\log{(\sin{x}+1)}$ explota. Por lo tanto, $f'(3 \pi/2)=0$ .

Answer 3

$f(x) = (sin(x)+1)^x = (e^{ln(sin(x)+1)})^x = e^{x ln(sin(x)+1)}$ .

Entonces $f'(x) = e^{x ln(sin(x)+1)} * \frac{d}{dx} [x ln(sin(x)+1)]$

por las reglas para diferenciar exponenciales, y la regla de la cadena.

Ahora $\frac{d}{dx} [x ln(sin(x)+1)] = ln(sin(x)+1) + x * \frac{1}{sin(x)+1} * cos(x)$

mediante una combinación de la regla del producto y la regla de la cadena.

Ahora basta con insertar el valor de $\frac{3\pi}{2}$ y ver qué pasa (de momento no tengo tiempo para hacerlo).

Answer 4

Gráfico de $f(x)$ :

Gráfico de $f'(x)$ :

Véanse los dos gráficos anteriores. $f(x)$ no es diferenciable en $x= 1.5$ . El gráfico de $f'(x)$ en $x = 1.5$ es una asíntota vertical. La segunda diferencial de la función puede decir que aumenta/disminuye en $x= 1.5$ pero la primera derivada no existe.

Answer 5

No estoy completamente seguro de lo que buscas aquí, pero una forma sencilla de resolverlo es la regla de la cadena.

$f(x)=(\sin{x} +1)^x$

Primero hay que darse cuenta de que se trata de una cadena en forma de $a^x$ . Dado que la derivada de $a^x$ es $\ln(a)\cdot a^x$ .

Establecer $\sin(x)+1$ igual a $u$ Entonces su función tendrá el siguiente aspecto

$f(x)=u^x$

En la regla de la cadena, se toma la derivada y se escribe ignorando la $u$ y luego multiplicarlo por la derivada del $u$ .

Tomaremos la derivada de $u^x$ y multiplicarla por la derivada de $u$ En la imagen

$f'(x)=\ln(u)\cdot(u^x)\cdot \frac{du}{dx}$

Introduce el bloque de u

$f'(x)= \ln(\sin{x} +1)\cdot(\sin{x} +1)^x \cdot\frac{d}{dx} (\sin{x} +1)$

A continuación, tome la derivada de la $\sin{x} + 1$ que es $\cos{x}$ porque la derivada de una constante es 0

$f(x)= \ln(\sin{x} +1)\cdot(\sin{x} +1)^x \cdot \cos{x}$

A continuación, conecte $\frac{3\pi}{2}$

$f'(3π/2)= \ln(\sin\frac{3\pi}{2} +1)\cdot(\sin{\frac{3\pi}{2}})^{(\frac{3\pi}{2})} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$

Desde $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ entonces $f'(\frac{3\pi}{2}) = 0$ porque cualquier cosa multiplicada por 0 se convierte en 0. No has tenido que utilizar las reglas de los logaritmos para conseguirlo, a menos que tu profesor te lo pida específicamente...