Existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales en las que intervienen distribuciones

Question

Considera la siguiente DE:

$$x' = f(x) + g(x)z'$$ con condición inicial: $$x(0) = x_0$$

donde $f,g$ son funciones infinitamente diferenciables de $x$ y $z'$ es la derivada (en el sentido distribucional) de alguna función dada localmente integrable z(t).

Por distribución, me refiero a la definición dada aquí en wikipedia.

Me gustaría saber si existe una solución única $x$ (una función) tal que $x$ es una solución para todo t en $[-d,d]$ para alguna constante $d>0$ .

Detalles

Por la expresión $x'$ I denota la derivada distribucional de $x$ cuando se considera como una distribución, por lo que $x'$ es una distribución y no una función. Porque el producto de una función y una distribución es también una distribución, $g(x)z'$ es una distribución. $f$ puede interpretarse como una distribución mediante el mapa de inclusión habitual de funciones a distribuciones, por lo que podemos considerar la suma $f(x)+g(x)z'$ y por lo tanto considerar también la ecuación de las distribuciones $x'=f(x)+g(x)z'$ .

Answer 1

No; sin más suposiciones puede haber muchas soluciones incluso en sentidos mucho más fuertes que el distribucional. La idea clave es que la ecuación es singular alrededor de cualquier raíz común de $f$ y $g$ y el forzamiento de $z'$ puede empujar hacia (o fuera de) esas singularidades.

Que, para todos $x$ , $f(x)=0$ y $g(x)=x$ para todos $t$ , $z(t)=-\frac{2}{\sqrt{t}}$ y $x_0=0$ . Entonces tenemos en la distribución $$x'=-\frac{x}{t^{3/2}}\tag{1}$$ Para cualquier $C$ la función $$x(t)=Ce^{-\frac{2}{\sqrt{t}}}$$ resuelve (1) en todas las $\mathbb{R}$ .

(Inspirado en la solución de esta pregunta .)