Sea $K$ sea un conjunto convexo y compacto en el espacio real de Banach $(\mathbb{R}^n, |\cdot|_{\infty})$ . En este caso, la norma máxima se define como $|v|_{\infty}=\max_{i}|v_{i}|$ y la función de distancia $d_{K}(\cdot)$ se define como $d_{K}(x):=\inf_{y \in K}|x-y|_{\infty}$ . Utilicemos la notación $D_{K}(x;v)$ para denotar la derivada direccional de $d_{K}(x)$ con respecto a la dirección $v \in \mathbb{R}^{n}$ es decir, $$D_{K}(x;v):=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{d_{K}(x+hv)-d_{K}(x)}{h}$$
Entonces la pregunta que quiero hacer es:
Si $x$ es un punto en $\mathbb{R}^{n}-K$ con $D_{K}(x;v) \leq 0$ para algunos $v \in \mathbb{R}^{n}$ ¿es posible que exista una secuencia $\{ x_{n} \}$ en $\mathbb{R}^{n}-K$ y $\epsilon>0$ tal que $x_{n}$ converge a $x$ y $D_{K}(x_{n};v) \geq \epsilon$ para todos $n \in \mathbb{N}$ ?
Aporto algunas observaciones y mis opiniones relacionadas con esta cuestión.
- Si el espacio ambiente fuera sólo un espacio euclidiano, es decir, $(\mathbb{R}^{n},|\cdot|_{2})$ la respuesta a esta pregunta es obviamente NO. La razón es que la derivada direccional $D_{K}(x;v)$ es continua con respecto a $x$ y $v$ desde $d_{K}(\cdot)$ es continuamente diferenciable ( $C^{1}$ ).
- He comprobado que esta pregunta también falla si $K$ es un politopo convexo. Por lo tanto, supongo que esta afirmación es falsa para el conjunto convexo y compacto general $K$ en el espacio real de Banach $(\mathbb{R}^{n}, |\cdot|_{\infty})$ pero no tengo idea de derivar una contradicción para un conjunto tan general.
Le agradezco mucho que lea y responda a mi pregunta.
