Sea $k < l$ y que $\mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^l$ es la topología del subespacio en $\mathbb{R}^k$ igual que la topología estándar en $\mathbb{R}^k$ ?
Sea $(\mathbb{R}^l, \mathcal{K})$ y $(\mathbb{R}^k, \mathcal{T})$ sea $\mathbb{R}^k$ y $\mathbb{R}^l$ equipados con las topologías habituales, y que $(\mathbb{R}^k, \Omega)$ sea $\mathbb{R}^k$ equipado con la topología del subespacio.
Ahora los elementos base de $\mathcal{T}$ son de la forma $V = B_{(\mathbb{R}^k, d)}(x, \epsilon)$ para $x \in \mathbb{R}^k$ . Desde $\mathbb{R}^k \subset \mathbb{R}^l$ y $V$ también está abierto en $(\mathbb{R}^l, \mathcal{K})$ y $V \subseteq \mathbb{R}^k$ se deduce que $V$ está abierto en $(\mathbb{R}^k, \Omega)$ . De modo que $\mathcal{T} \subseteq \Omega$ .
Sin embargo, demostrar que $\Omega \subseteq \mathcal{T}$ me está dando un poco de dificultad. Sé que $\Omega = \{ W \cap \mathbb{R}^k | W \in \mathcal{K}\}$ Por lo tanto $Z = B_{(\mathbb{R}^l, d)}(a, \epsilon) \cap \mathbb{R}^k \in \Omega$ para $a \in \mathbb{R}^l$ . Si $a \in \mathbb{R}^k$ entonces automáticamente tendría $\Omega \subseteq \mathcal{T}$ pero también podríamos tener $a \not\in \mathbb{R}^k$ , en cuyo caso no estoy seguro de cómo probar que $\Omega \subseteq \mathcal{T}$ .
