Antecedentes 1) Teorema de Knop
En artículo fundamental en Annals 1994 F. Knop demostró el siguiente teorema.
Sea G un grupo reductor conexo y X una variedad lisa de G.
Teorema: Supongamos que X es esférico o afín. Entonces el centro Z(X) del anillo de operadores diferenciales G-invariantes sobre X es un anillo polinómico. Más precisamente, Z(X) es isomorfo al anillo de invariantes de un grupo de reflexión finito.
Antecedentes 2) Mapa de Duflo
M. Duflo definió la construcción fundamental: para cualquier álgebra de Lie $g$ un mapa: $DufloMap: S(g) \to U(g) $ tal que es
1) Restringido al $S(g)^g$ dará isomorfismo de álgebras conmutativas $S(g)^g \to Z(U(G))$
2) Es isomorfismo de espacios vectoriales graduados, además es mapa identidad sobre "simbolds principales"
3) Isomorfismo de $g$ módulos
D. Calaque, C. Rossi "Conferencias sobre isomorfismos de Duflo en álgebras de Lie y geometría compleja"
http://people.mpim-bonn.mpg.de/crossi/LectETHbook.pdf
Véase Capelli determinante = Duflo ( determinante) - ¿ era conocido ? , ¿El mapa Duflo de Lie algs. es único? para obtener información sobre el mapa de Duflo.
Pregunta
Sea $G$ sea un grupo de Lie (reductor puede ser necesario). $M$ es múltiple (puede ser afín).
Pregunta ¿Es posible encontrar un mapa de este tipo desde Funciones(T*M) a Operadores diferenciales sobre $M$ , tal que satisfaga requisitos similares a los del mapa de Duflo, donde el papel de $S(g)$ es interpretado por $Fun(T^*M)$ y de $U(g)$ es interpretado por $Dif(M)$ ?
Además debemos exigir que sea compatible con el isomorfismo Knop-Harish-Chandra.
Si el centro de $Dif(M)^G$ es trivial, entonces no tiene sentido hacer la pregunta, pero si el centro no es trivial los requisitos parecen bastante no triviales.