¿Puede definirse un mapa de tipo Duflo para operadores diferenciales invariantes? (De forma compatible con el isomorfismo "Harish-Chandra" definido por F. Knop)

Question

Antecedentes 1) Teorema de Knop

En artículo fundamental en Annals 1994 F. Knop demostró el siguiente teorema.

Sea G un grupo reductor conexo y X una variedad lisa de G.

Teorema: Supongamos que X es esférico o afín. Entonces el centro Z(X) del anillo de operadores diferenciales G-invariantes sobre X es un anillo polinómico. Más precisamente, Z(X) es isomorfo al anillo de invariantes de un grupo de reflexión finito.

Antecedentes 2) Mapa de Duflo

M. Duflo definió la construcción fundamental: para cualquier álgebra de Lie $g$ un mapa: $DufloMap: S(g) \to U(g) $ tal que es

1) Restringido al $S(g)^g$ dará isomorfismo de álgebras conmutativas $S(g)^g \to Z(U(G))$

2) Es isomorfismo de espacios vectoriales graduados, además es mapa identidad sobre "simbolds principales"

3) Isomorfismo de $g$ módulos

D. Calaque, C. Rossi "Conferencias sobre isomorfismos de Duflo en álgebras de Lie y geometría compleja"

http://people.mpim-bonn.mpg.de/crossi/LectETHbook.pdf

Véase Capelli determinante = Duflo ( determinante) - ¿ era conocido ? , ¿El mapa Duflo de Lie algs. es único? para obtener información sobre el mapa de Duflo.

Pregunta

Sea $G$ sea un grupo de Lie (reductor puede ser necesario). $M$ es múltiple (puede ser afín).

Pregunta ¿Es posible encontrar un mapa de este tipo desde Funciones(T*M) a Operadores diferenciales sobre $M$ , tal que satisfaga requisitos similares a los del mapa de Duflo, donde el papel de $S(g)$ es interpretado por $Fun(T^*M)$ y de $U(g)$ es interpretado por $Dif(M)$ ?

Además debemos exigir que sea compatible con el isomorfismo Knop-Harish-Chandra.

Si el centro de $Dif(M)^G$ es trivial, entonces no tiene sentido hacer la pregunta, pero si el centro no es trivial los requisitos parecen bastante no triviales.

Answer 1

Sea $X=T^*M$ y aplicar el teorema de la formalidad equivariante de Dolgushev (véase http://arxiv.org/abs/math/0307212 ) para obtener un $G$ -equivariante $L_\infty$ -cuasi-isomorfismo $$ \mathcal U:T_{poly}X \longrightarrow D_{poly}X $$

Sea $\pi$ sea la estructura de Poisson en $X$ que procede de la forma simpléctica canónica sobre $T^*M$ . Entonces se obtiene un $G$ -equiavriante cuasi-isomorfismo de complejos $\mathcal U_\pi^1$ del complejo de co-cadenas de Poisson de $(X,\pi)$ al complejo de co-cadenas de Hochschild de $(\mathcal O_X,\star_\pi)$ donde $\star_\pi$ es el producto estrella que cuantiza $\pi$ a través de $\mathcal U$ .

Además, se tiene una homotopía entre el producto taza uno y ambos lados, y es $G$ -equivariante (la compatibilidad con los productos taza se esboza en el artículo original de Kontsevich http://arxiv.org/abs/q-alg/9709040 se demuestra rigurosamente en http://arxiv.org/abs/math/0106205 por Manchon y Torossian, y la globalización se aborda en http://arxiv.org/abs/0805.3444 - en esta última referencia verás fácilmente que si empiezas con un $G$ -invariante para realizar la globalización entonces su homotopía será $G$ -invariante también).

Conclusión . tomando $G$ -y restringiéndose a la parte de grado cero de la cohomología (Poisson y Hochschild, respectivamente), se encontrará que el centro de Poisson de $\mathcal O_X^G$ es isomorfo, como álgebra al centro de la subálgebra de $G$ -elementos invariantes en la cuantización.

Cosas que he estado escondiendo bajo la alfombra . 1. cuestiones relacionadas con $\hbar$ . En este caso hay que demostrar que la cuantización es realmente convergente y puede especializarse en $\hbar=1$ . 2. Tienes que demostrar que la cuantización realmente devuelve operadores diferenciales... esta es probablemente la parte más complicada.