Sé que si una estadística es tanto suficiente como completa entonces también debe ser mínimamente suficiente. Pero por otro lado, ¿podría decirse que una estadística mínimamente suficiente también debe ser una estadística completa?
Ejemplos de estadística suficiente minimal que no son completos abundan.
Un ejemplo simple es $X\sim U (\theta,\theta+1)$ donde $\theta\in \mathbb R$.
No es difícil demostrar que $X$ es una estadística suficiente minimal para $\theta$. Sin embargo, $$E_{\theta}(\sin 2\pi X)=\int_{\theta}^{\theta+1} \sin (2\pi x)\,\mathrm{d}x=0\quad,\forall\,\theta$$
Y $\sin 2\pi X$ no es identicamente cero casi en todas partes, por lo que $X$ no es una estadística completa.
Otro ejemplo para una distribución discreta se puede encontrar en libros de texto como un ejercicio o de otra manera:
Sea $X$ tener la función de masa
$$f_{\theta}(x)=\begin{cases}\theta&,\text{ si }x=-1\\\theta^x(1-\theta)^2&,\text{ si }x=0,1,2,\ldots\end{cases}\quad,\,\theta\in (0,1)$$
Se puede verificar que $X$ es suficiente minimal para $\theta$.
Supongamos que $\psi$ es cualquier función medible de $X$. Entonces
\begin{align} &\qquad\quad E_{\theta}(\psi(X))=0\quad,\forall\,\theta \\&\implies \theta\psi(-1)+\sum_{x=0}^\infty \psi(x)\theta^x(1-\theta)^2=0\quad,\forall\,\theta \\&\implies \sum_{x=0}^\infty \psi(x)\theta^x=\frac{-\theta\psi(-1)}{(1-\theta)^2}=-\sum_{x=0}^\infty\psi(-1)x\theta^x\quad,\forall\,\theta \end{align}
Comparando el coeficiente de $\theta^x$ para $x=0,1,2,\ldots$ tenemos $$\psi(x)=-x\psi(-1)\quad,\, x=0,1,2,\ldots$$
Si $\psi(-1)=c\ne 0$, entonces $$\psi(x)=-cx\quad,\, x=0,1,2,\ldots$$
Es decir, $\psi$ no es cero con probabilidad positiva. Por lo tanto, $X$ no es completo para $\theta$.
Consider $N(\theta,\theta)$ donde $\theta>0$. Por supuesto, $\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ es suficiente pero no completa. Para ver por qué no es completa, encontrar $a$ y $b$ tales que:
$$E\Big(a\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 \Big)=E\Big(b\sum_{i=1}^nX_i^2\Big)=\theta^2$$ y por lo tanto $E\Big(a\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2-b\sum_{i=1}^nX_i^2\Big)=0$ para todo $\theta$.
Bien formulado, aunque es un poco extraño tener una distribución normal con la misma media y varianza. Además, ¿podrías dar un ejemplo de la elección de a y b para completar la solución?
No entiendo el argumento ya que su función es una función del par $(\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2, \sum_{i=1}^nX_i^2)$ no de $\bar{X}_n$.
Para $N(\theta, \theta^2)$, un argumento similar mostraría que $(\bar X, S^2)$ es suficiente mínimo pero no completo para $\theta.
En la distribución Cauchy con ubicación desconocida, $$f(x;\mu) = \frac{1}{\pi} \, \frac{1}{1+(x-\mu)^2}$$ para una muestra $(X_1,\ldots,X_n)$ la estadística de orden $(X_{(1)},\ldots,X_{(n)})$ es suficiente mínima, pero es incompleta ya que $$\mathbb{E}_\mu[\phi(X_{(i)} - X_{(j)})]\qquad i\ne j$$es constante en $\mu$ para funciones acotadas $\phi$. O ya que $$\mathbb{E}_\mu[\phi(X_{(i)} - X_{(j)})]\qquad 1< i\ne j
¿Podrías explicarlo más detalladamente? Estoy un poco confundido. Según mi entendimiento, la expectativa de la distribución de Cauchy debería ser infinita. ¿Cómo podrías restar la expectativa de dos estadísticas de orden, dado $\mu$?
Añadido: En realidad, las estadísticas de orden tienen expectativas excepto para las extremas.
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Estoy de acuerdo con las respuestas anteriores, sin embargo es interesante notar que lo contrario es cierto: Si existe una estadística suficiente mínima, entonces cualquier estadística completa también es suficiente mínima.