Ejemplos de estadística suficiente minimal que no son completos abundan.
Un ejemplo simple es $X\sim U (\theta,\theta+1)$ donde $\theta\in \mathbb R$.
No es difícil demostrar que $X$ es una estadística suficiente minimal para $\theta$. Sin embargo, $$E_{\theta}(\sin 2\pi X)=\int_{\theta}^{\theta+1} \sin (2\pi x)\,\mathrm{d}x=0\quad,\forall\,\theta$$
Y $\sin 2\pi X$ no es identicamente cero casi en todas partes, por lo que $X$ no es una estadística completa.
Otro ejemplo para una distribución discreta se puede encontrar en libros de texto como un ejercicio o de otra manera:
Sea $X$ tener la función de masa
$$f_{\theta}(x)=\begin{cases}\theta&,\text{ si }x=-1\\\theta^x(1-\theta)^2&,\text{ si }x=0,1,2,\ldots\end{cases}\quad,\,\theta\in (0,1)$$
Se puede verificar que $X$ es suficiente minimal para $\theta$.
Supongamos que $\psi$ es cualquier función medible de $X$. Entonces
\begin{align} &\qquad\quad E_{\theta}(\psi(X))=0\quad,\forall\,\theta \\&\implies \theta\psi(-1)+\sum_{x=0}^\infty \psi(x)\theta^x(1-\theta)^2=0\quad,\forall\,\theta \\&\implies \sum_{x=0}^\infty \psi(x)\theta^x=\frac{-\theta\psi(-1)}{(1-\theta)^2}=-\sum_{x=0}^\infty\psi(-1)x\theta^x\quad,\forall\,\theta \end{align}
Comparando el coeficiente de $\theta^x$ para $x=0,1,2,\ldots$ tenemos $$\psi(x)=-x\psi(-1)\quad,\, x=0,1,2,\ldots$$
Si $\psi(-1)=c\ne 0$, entonces $$\psi(x)=-cx\quad,\, x=0,1,2,\ldots$$
Es decir, $\psi$ no es cero con probabilidad positiva. Por lo tanto, $X$ no es completo para $\theta$.
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Estoy de acuerdo con las respuestas anteriores, sin embargo es interesante notar que lo contrario es cierto: Si existe una estadística suficiente mínima, entonces cualquier estadística completa también es suficiente mínima.