A la derecha del triángulo en una elipse, hallar el área

Question

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Supongamos que tengo un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ cuando la media de $BC$ se encuentra en el origen $O$. El triángulo tiene las siguientes propiedades:

• $\angle ABC = 90^{\circ}$,
• $B=(r\cos(\alpha), t\sin(\alpha))$,
• $A=(-\sqrt{r^2\cos^2(\alpha) + t^2\sin^2(\alpha)},0)$,
• $C=(\sqrt{r^2\cos^2(\alpha) + t^2\sin^2(\alpha)},0)$,

donde $\alpha = \angle BOC$ $r,t$ algunos arbitraria de números reales.

Ahora voy a permitir Geogebra dibujar la traza de los segmentos $\overline{AB}$ $\overline{BC}$ mientras $\alpha$ cambios de $0^\circ$ $180^\circ$para los siguientes casos:

1. En este caso,$r=t=1$. Punto de $B$ cambios de ubicación, mientras que los puntos de $A$ $C$ estadía de los mismos, debido a que

$$\sqrt{r^2\cos^2(\alpha) + t^2\sin^2(\alpha)}=\sqrt{r^2\cos^2(\alpha) + r^2\sin^2(\alpha)}=r$$

Es fácil comprobar que mediante la interpolación de las huellas que conducen a un semi-círculo de un área $\pi r^2/2$.

2. En este caso $r=1$, $t=1.5$; como se puede comprobar por las ecuaciones, los puntos de $A,B,C$ cambio de ubicación. En particular el punto de $B$ se mueve en una elipse.

Por último, vamos a venir al problema:

Lo intenté, pero no podía calcular el área debajo de los rastros como en el primer caso, para el segundo caso. ¿Cómo puedo formular la zona? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Es muy claro que la curva en forma de campana está formada por un arco de la elipse de ecuación paramétrica $(r\cos\theta,t\sin\theta)$, trazada por el punto de $B$, y por un arco de la envolvente de la familia de las líneas de $BC$$AB$.

En el siguiente asumiré $t\ge r$ y considerar sólo la curva de $x\ge0$, ya que es simétrico alrededor de la $y$ eje. Entonces es suficiente para considerar la dotación de las líneas de $BC$.

Las ecuaciones de las líneas de $BC$ puede ser expresada como una función de la $\alpha$$F(x,y,\alpha)=0$, donde: $$ F(x,y,\alpha)= y\left(r \cos\alpha\sqrt{r^2 \cos ^2\alpha +t^2 \sin ^2\alpha}\right)- t\sin\alpha\left(x-\sqrt{r^2 \cos ^2\alpha +t^2 \sin ^2\alpha}\right). $$ La ecuación de la envolvente puede ser encontrada en: $$ F(x,y,\alpha)={\parcial\\parcial\alpha}F(x,y,\alpha)=0, $$ que dan las ecuaciones paramétricas de la envolvente: $$ \begin{align} x_{env}=& \frac{-r^3 \cos ^4\alpha+t^2 \sin ^2\alpha \cos\alpha \sqrt{r^2 \cos^2\alpha+t^2 \sin ^2\alpha}} {r \left(r \cos\alpha-\sqrt{r^2 \cos ^2\alpha +t^2 \sin ^2\alpha}\right)}+\\ &+\frac{r^2 \cos ^3\alpha\sqrt{r^2 \cos ^2\alpha +t^2 \sin ^2\alpha} -r t^2 \sin ^4\alpha-2 r t^2 \sin ^2\alpha \cos^2\alpha} {r \left(r \cos\alpha-\sqrt{r^2 \cos ^2\alpha +t^2 \sin ^2\alpha}\right)},\\ y_{env}=&\frac{t \sin ^3\alpha \cos\alpha \left(r^2-t^2\right)} {r \left(r\cos\alpha-\sqrt{r^2 \cos^2\alpha+t^2 \sin ^2\alpha}\right)}.\\ \end{align} $$

He representado en la imagen debajo de la región (líneas grises) barrido por segmento de $BC$$r=1$$t=2.4$. La curva roja es la elipse, mientras que la curva amarilla es el sobre que se encuentra por encima de.

La envoltura tiene una cúspide, que se encuentra en $\alpha=\alpha_0\approx\pi/4$. Estamos interesados en su parte exterior, correspondiente a $\alpha_0\le\alpha\le\pi/2$. Esta parte de la envolvente se reúne la elipse en un punto de $P$: el valor correspondiente de $\alpha$ puede ser encontrado a partir de la ecuación $(x_{env}/r)^2+(y_{env}/t)^2=1$. Esto sólo tiene una solución de $\bar\alpha$ en el intervalo de $(\pi/4,\pi/2)$, dada por: $$ \begin{cases} \displaystyle\bar\alpha= \arccos{t\over\sqrt{3r^2+t^2}}, &\text{for %#%#%;}\\ \displaystyle\bar\alpha= \arccos{r\over\sqrt{t^2-r^2}}, &\text{for %#%#%.}\\ \end{casos} $$

Los valores correspondientes a $r<t\le\sqrt3r$ para el parámetro de la elipse puede ser fácilmente calculada a partir de: $t\ge\sqrt3r$.

Podemos entonces representar la mitad del área bajo la curva en forma de campana como una integral: $$ {1\over2}Área=\int_0^t\,dx= \int_{\pi/2}^{\bar\theta}t\sin\theta{d\sobre d\theta}(r\cos\theta)\,d\theta+ \int_{\bar\alpha}^{\pi/2} y_{env}{dx_{env}\over d\alpha}\,d\alpha. $$

La primera integral es fácil de calcular, pero el segundo no y yo sospecho que puede ser expresado en forma elemental. Para $\bar\theta$ $\bar\theta=\arcsin(y_{env}(\bar\alpha)/t)$ estas integrales pueden ser evaluados a$r=1$$t=1.5$, por lo que el $1.09117$.