Continuidad del sumo de una función continua en un intervalo cerrado

Question

Proposición: sea $F:R\times [0,1]\rightarrow R$ sea una función contínua. Si $g(x):= Sup\{F(x,t):t\in [0,1]\}$ entonces $g(x)$ es continua en todos los puntos.

Mi idea: Supongamos $g$ no es continua en $x_0$ . Entonces existe $\epsilon >0$ tal que existe una secuencia $\{y_n\}$ que converge a $x_0$ y $|g(y_n)-g(x_0)|>\epsilon$ y $y_n\ne x_0$ para todos $n$ .

$g(y_n)=F(y_n,t_n)$ para algunos $t_n\in [0,1]$ como $[0,1]$ es compacto y $F$ es continua. Así tenemos la secuencia $\{(y_n,t_n)\}$ . Ahora bien, como la sucesión se encuentra en un intervalo cerrado, por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsecuencia $\{(y_m,t_m)\}$ que converge. Es fácil observar $\{(y_m,t_m)\}$ converge a $(x_0,t_0)$ donde $t_0$ es un número real comprendido entre 0 y 1 .

Por lo tanto $F(y_m,t_m)>g(x_0)+\epsilon$ o $F(y_m,t_m)<g(x_0)-\epsilon$ como

$g(y_m)>g(x_0)+\epsilon$ o $g(y_m)<g(x_0)-\epsilon$ lo que implica

$F(x_0,t_0)\ge g(x_0)+\epsilon$ o $F(x_0,t_0)\le g(x_0)-\epsilon$

Si sólo se tratara de la primera desigualdad, habríamos acabado, pero no es el caso.

Agradecería que alguien me ayudara demostrar/refutar la proposición.

Answer 1

Mostramos $g(x)$ es continua por la $\epsilon- \delta$ definición utilizando la continuidad uniforme de $F(x)$ .

Mostrar $g(x)$ es continua en $x_0$ dado $\epsilon>0$ observamos que $F(x)$ es uniformemente continua en el intervalo $[x_0-1\ ,\ x_0+1]\times [0,1]$ .

Siguiente ${\epsilon}$ por continuidad uniforme, $\exists\ \delta>0$ tal que $|F(\textbf{x})-F(\textbf{y})|<\epsilon \ \ \ \forall \ \textbf{x,y}\in[x_0-1\ ,\ x_0+1]\times [0,1]\ \ \ \&\ \ \ ||\textbf{x-y}||<\delta$

Ahora dado $x\in \ (x_0-min(\delta,1),\ x_0+min(\delta,1))$

1. Caso 1 : $g(x)> g(x_0)+\epsilon$ : let $F(x,t)=g(x)$ sabemos que tal $t$ existe como $F$ es continua. Nota $|F(x,t)-F(x_0,t)|<\epsilon$ o $F(x_0,t)>g(x)-\epsilon>g(x_0)$ lo cual es una contradicción ya que $g(x_0)\ge F(x_0,a)\ \forall a\in[0,1]$
2. Caso 2 : $g(x)< g(x_0)-\epsilon$ : let $F(x_0,t)=g(x_0)$ sabemos que tal $t$ existe como $F$ es continua. Nota $|F(x,t)-F(x_0,t)|<\epsilon$ o $F(x,t)>g(x_0)-\epsilon>g(x)$ lo cual es una contradicción ya que $g(x)\ge F(x,a)\ \forall a\in[0,1]$

lo que queda es $|g(x)-g(x_0)|\le \epsilon$

Por lo tanto $g(x)$ ¡¡es continua en todas partes!!