Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales homogéneas con término homogéneo no constante

Question

En general, solución particular de ecuación diferencial es cualquier solución que cumpla la ecuación. Por ejemplo, fijando y (nuestra variable dependiente) en constante $k$ es una solución que suele funcionar. También lo es ponerlo en $kt$ (donde t es nuestra variable independiente), o bien $e^t$ .

Sin embargo, cuando la ecuación es homogénea y contiene la variable independiente, algunas de las soluciones parecen romperse.

Por ejemplo:

$$y''+ 6y = e^t$$ O $$y''-4y'+8y = 2t^2$$

Ahora bien, la solución particular de la primera ecuación no puede ser $y=k$ . Puesto que si $y=k$ entonces $y=\frac{e^t}{6}$ que no es una constante. ¿Cómo encontrar soluciones particulares a las ecuaciones anteriores?

Answer 1

Para que la solución de prueba funcione, el lado derecho debe ser del tipo suma de exponenciales con coeficientes polinómicos. Si un término de la suma es $p(t)e^{\lambda t}$ con $p(t)$ un polinomio, entonces la solución de prueba para ese término es $t^\mu q(t)e^{\lambda t}$ donde $\mu$ es la multiplicidad de $\lambda$ como raíz de la ecuación característica de la parte homogénea de la EDO y $q$ tiene el mismo grado que $p$ y los coeficientes de $q$ son los parámetros por determinar.

Tenga en cuenta que, debido a $\cos t=\frac12(e^{it}+e^{-it})$ etc., también el seno y el coseno trigonométricos (e hiperbólicos) pertenecen al tipo exponencial.

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Para su ejemplo, eso significa que $Ae^t$ y $At^2+Bt+C$ son las soluciones de prueba.