Sea $A$ ser un $C^*$ -y $f:A\rightarrow\mathbb{C}$ a $^*$ -homorfismo. ¿Tiene $f$ siempre se extienden a un $^*$ -homorfismo $\tilde{f}:M(A)\rightarrow\mathbb{C}$ donde $M(A)$ es el álgebra multiplicadora de $A$ ?
Sospecho que la respuesta es no, pero no sé cómo demostrarlo. En caso de que la respuesta sea afirmativa, se agradecería mucho una prueba o referencia.
Gracias.
La respuesta es sí. Esto depende de dos hechos:
$A$ es un ideal en $M(A)$ .
si $J\subset B$ es un ideal, cualquier representación no degenerada $J\to B(H)$ puede ampliarse a una representación $B\to B(H)$ . Este es, por ejemplo, el lema I.9.14 de la obra de Davidson C $^*$ -Algebras por ejemplo. Aquí tenemos $J=A$ , $B=M(A)$ , $H=\mathbb C$ .
El argumento sirve para cualquier $*$ -homorfismo $A\to B(H)$ .
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