Cuantificación sobre el conjunto(?) de predicados

Question

Al aprender teoría de conjuntos y lógica, un hecho que surgió un puñado de veces fue que no cuantificábamos sobre predicados. Citando las notas que tomé en clase sobre la axioma de la comprensión sin restricciones :

Dado cualquier predicado $\varphi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos con una variable libre $x$ (y quizás algunos parámetros $a_1,\ldots,a_n$ ), existe un conjunto necesariamente único $\{x\;\colon\;\varphi(x)\}$ .

Tenga en cuenta que $\varphi$ no forma parte del lenguaje lógico: no es un objeto que tenga miembros y, por tanto, no podemos decir $\forall\varphi$ . Formalmente escribiríamos $$\exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow\varphi(x)).$$

¿Hay alguna razón por la que no podamos (¿o no queramos?) cuantificar sobre predicados?

También he estudiado la aritmetización de la sintaxis, por la que codificamos funciones, relaciones, sentencias, predicados, etc. mediante números naturales, en un esfuerzo por enunciar y demostrar el Primer Teorema de Incompletitud. Me pregunto si se podría adoptar un enfoque similar para traducir predicados en conjuntos, creando así un "conjunto de predicados". De hecho, podríamos aritmetizar estos predicados mediante la función de Godel $\#$ y, a continuación, formar un conjunto de predicados mediante la función esquema axiomático de comprensión restringida ( separación ), teniendo algún predicado $\psi$ tal que $\psi(y)$ sólo si $y=\#(\varphi(x))$ para algún predicado $\varphi(x)$ con una variable libre. Esto eliminaría la restricción de cuantificar sobre predicados.

Teniendo en cuenta que esto no evita la necesidad de un esquema, no se consigue gran cosa. Sin embargo, mi pregunta es si es posible cuantificar sobre predicados: en caso afirmativo, ¿es válido mi argumento y, en caso negativo, por qué no?

Answer 1

No sé si esto es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario:

Claro que sí. posible para cuantificar sobre subconjuntos del dominio $^*$ en el sentido de que (con una teoría de conjuntos de fondo) podemos definir la semántica de una lógica que lo haga; pero ¿queremos hacerlo?

Para desarrollar el comentario de Asaf, permítanme dar un ejemplo clásico de una terrible frase de segundo orden $\varphi$ . Trabajamos con un lenguaje formado por dos predicados unarios, $U$ y $V$ y una relación binaria $E$ . Ahora $\varphi$ dice:

• $U$ y $V$ particionar el dominio.

• $U$ es infinita y contable.

• $E\subseteq U\times V$ .

• Para cada subconjunto $X$ de $U$ existe un único $v\in V$ tal que $X=\{u: uEv\}$ .

• Todo subconjunto incontable de $V$ tiene la misma cardinalidad que $V$ sí mismo.

No es difícil escribir lo anterior en lógica de segundo orden. Pero ahora $\varphi$ tiene un modelo si y sólo si la hipótesis del continuo es cierta. Así que incluso decidir si las sentencias de la lógica de segundo orden son consistentes nos obliga a hacer fuertes compromisos teóricos de conjuntos. Por el contrario, el problema de consistencia de la lógica de primer orden, aunque indecidible, no tiene un contenido teórico de conjuntos real. (Un efecto secundario importante de esto es que, mientras que la lógica de primer orden tiene un lado "puramente sintáctico" capturado por el Teorema de Completitud, la lógica de segundo orden realmente no lo tiene, así que si quieres usar la lógica de segundo orden evitando hacer compromisos ontológicos, estás en un pequeño aprieto. Por esta razón, Quine llamó a la lógica de segundo orden "teoría de conjuntos disfrazada de oveja", aunque otros se han opuesto a ello).

Así que todo se reduce a: ¿qué queremos de nuestra lógica? El poder expresivo y el comportamiento agradable están fundamentalmente reñidos (un tema similar está detrás del teorema de incompletitud de Godel). En última instancia, se podría argumentar que deberíamos buscar teoremas de la siguiente forma:

La lógica [tal y tal] es la lógica más fuerte con [tal y tal] propiedad agradable.

Esto ya se ha hecho para la lógica de primer orden - Teorema de Lindstrom afirma que la lógica de primer orden es la lógica más fuerte con la compacidad y Lowenheim-Skolem propiedades. Ahora bien, la solidez del argumento del teorema de Lindstrom a favor de que la lógica de primer orden es la lógica "correcta" depende de la importancia que se conceda a estas propiedades agradables específicas, y en esto pueden discrepar personas razonables; personalmente, lo encuentro extremadamente convincente, pero otros no.

La cuestión es que cuando preguntamos: "¿Qué lógica deberíamos usar para (esta parte de) las matemáticas?", implícitamente tenemos muchas preferencias sobre cómo debería/no debería comportarse una lógica (en este contexto); y estas preferencias van a estar en tensión unas con otras.

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Su pregunta se refiere en realidad a la cuantificación de más de definible subconjuntos del dominio, por ejemplo predicados no subconjuntos arbitrarios, pero hay una gran similitud. Para cualquier lógica $L$ podemos concebir una nueva lógica $L'$ que es $L$ junto con la capacidad de cuantificar $L$ -fórmulas; estas lógicas empeoran progresivamente, y observar el panorama completo de segundo orden es un buen primer paso para comprender este panorama definible por niveles. También puede interesarle el jerarquía hiperaritmética .