¿Cómo es que esta matriz con valores propios no degenerados tiene dos conjuntos de posibles vectores propios?

Question

Espero que cuando tengamos un $n \times n$ matriz con valores propios no degenerados, es decir, una matriz para la que ninguno de sus $n$ valores propios tienen el mismo valor, que existe un conjunto único de n vectores propios normalizados.

Sin embargo, para esta matriz:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Con valores propios { $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , $\lambda_3$ } = {1, i, -i} sus vectores propios no normalizados pueden ser:

$x_1$ = $(1,0,0)$ , $x_2$ = $(0,i,1)$ , $x_3$ = $(0,-i,1)$

O

$x_1$ = $(1,0,0)$ , $x_2$ = $(0,1,-i)$ , $x_3$ = $(0,1,i)$

¿Cómo es que podemos encontrar dos conjuntos diferentes de eignvectores?

Answer 1

Los vectores propios nunca son únicos. En tu caso, todo lo que puedes decir es que cada eigenespacio es unidimensional. ¿Puedes encontrar los respectivos escalares que relacionan los dos elementos de cada eigenespacio que has encontrado?

Answer 2

Los vectores propios nunca son únicos aunque estén normalizados, porque se pueden multiplicar por un escalar. Si se permiten números complejos, entonces el escalar puede ser cualquier número complejo del círculo unitario, como o y conservar su normalización.