¿Por qué es la relación de velocidad a la velocidad de la luz al cuadrado del factor de Lorentz?

Question

¿Por qué es la relación de velocidad a la velocidad de la luz al cuadrado del factor de Lorentz? $${\left( {{v \over c}} \right)^2}$$ Mi única suposición es que el valor debe ser positivo.

Answer 1

Es debido a la invariancia de Lorentz de la espacio-tiempo de intervalo: $$\Delta s^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 = (c\Delta t')^2 - (\Delta x')^2$$

Supongamos que, por ejemplo, $\Delta x = 0$ tal que $\Delta t$ es el tiempo transcurrido de acuerdo a un reloj estacionario en el imprimado marco de referencia.

Así

$$(c\Delta t)^2 = (c\Delta t')^2 - (\Delta x')^2$$

Con un poco de álgebra, tenemos

$$ \frac{(c\Delta t)^2}{(c\Delta t')^2} = 1 - \frac{(\Delta x')^2}{(c\Delta t')^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$$

donde

$$v = \frac{\Delta x'}{\Delta t'}$$

es la velocidad del reloj de la imprimación marco de referencia.

Un poco más de álgebra rendimientos

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t$$

cual es la conocida fórmula de la dilatación del tiempo

Answer 2

Misma razón, la velocidad de la luz es el cuadrado de la "Energía–momentum relación" de la ecuación: $$ E^2 = m_0^2 \cdot c^4 + p^2 \cdot c^2 $$ Mismo como $$ { E \sobre c } = \sqrt{ m_0^2 \cdot c^2 + p^2 } $$ Es un cateto de un triángulo no podemos observar directamente.

Answer 3

Considere una partícula de la luz se mueve a lo largo de un enfermo de longitud $c\Delta t$ desde el marco de referencia de un observador estacionario. es decir, La palanca tiene velocidad cero en relación a el observador estacionario.

A continuación, considere la posibilidad de otro observador, que se mueve con una velocidad perpendicular a los enfermos con velocidad de $v$. El observador estacionario ve la luz sube en línea recta. Mientras que el movimiento observador ve la luz se mueve a lo largo de un camino diagonal.

Desde Maxwell hizo claro que la velocidad de la luz sigue siendo el mismo en toda reverencia marcos tenemos que hacer una corrección a la clásica transformaciones.

La altura de los enfermos sigue siendo el mismo en ambos marcos de referencia, ya que el no-estacionario observador se mueve con una velocidad perpendicular a la barra.

Esto significa que la distancia a lo largo de la vara en el marco estático, dividido por el tiempo en el marco estático debe ser igual a la misma longitud de la vara en el bastidor móvil teniendo en cuenta la velocidad de la luz sigue siendo el mismo.

Utilizando el derecho de triángulo que se muestra, se obtiene:

$$ (c\Delta t_p)^2 = (v\Delta t_p)^2 + (c\Delta t)^2 $$

$$ \Delta t^2_p(c^2-v^2)=c^2\Delta t^2 $$

$$ \Delta t^2_p = \frac{c^2\Delta t^2}{c^2-v^2} = \frac{\Delta t^2}{1-\frac{v^2}{c^2}} $$

Y por lo tanto el $\frac{v^2}{c^2}$ factor de transformación de Lorentz, y la geometría no-euclidiana del plano espacio-tiempo.

Answer 4

Se deriva de la especial relativista versión del teorema de Pitágoras.

La hipotenusa de un triángulo Euclidiano está dada por

$$h^2 = a^2 + b^2$$

En el espacio de Minkowski (relatividad especial), se obtiene un signo de menos en lugar de un signo más, pero usted todavía tiene que square todo:

$$\Delta s^2 = \Delta t^2 - \Delta x^2$$

(y luego trabajas en adelante como se describe en Alfred respuesta.)

Answer 5

Voy a meter la cuchara con la geometría hiperbólica:

El $\dfrac{v^2}{c^2}$ plazo en el factor de Lorentz puede entenderse mejor si nos fijamos en la totalidad del factor de Lorentz:

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Ahora tenemos el término que se le preguntó acerca de la espalda en su contexto. Si tomamos un factor de $\frac{1}{c^2}$ fuera de la raíz cuadrada en el denominador obtenemos

$\gamma = \dfrac{1}{\dfrac{1}{c}\sqrt{c^2-v^2}} = \dfrac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}$

En este punto, usted podría darse cuenta de que tenemos algo que se parece mucho a la de un seno o un coseno definición. Si sólo los dos "lados", v, y c en la plaza de la raíz fueron una suma en lugar de una diferencia, que iba a estar allí. Estamos de suerte, aunque, debido a la definición de coseno hiperbólico es exactamente lo que tenemos: el lado adyacente dividido por la hiperbólica de la hipotenusa, que es la raíz cuadrada de la diferencia, (no la suma) de los cuadrados de los lados.

¿Qué nos dice esto. Bueno, primero de todo, $\gamma$ es conocida como la dilatación del tiempo factor porque es la proporción de tiempo experiencia en el laboratorio de marco de tiempo experimentado por la partícula, $\dfrac{dt}{d\tau}$. Podemos pensar en ella como la velocidad del movimiento de partículas a través del tiempo de el marco de laboratorio. Si escribimos la función seno para el mismo triángulo, obtenemos

$\dfrac{v}{\sqrt{c^2 - v^2}}$, que es lo que llamamos la "adecuada de la velocidad', y denotan por $\dfrac{dx}{d\tau}$. Se indica la rapidez con la que nos movemos por el espacio del marco de laboratorio con respecto a la época del bastidor móvil.

Entonces, para responder de forma más concisa, el término que usted ha mencionado es cuadrado porque es en realidad el camuflados versión de el cuadrado de un lado de una velocidad triángulo hiperbólico espacio de Minkowski. Una vez que nos damos cuenta de que, a continuación nos encontramos con que la proyección de nuestro laboratorio la velocidad de $v$ en el tiempo de la velocidad del eje es nuestro tiempo de dilatación factor, y nuestra proyección en el espacio de velocidad del eje es nuestra propia velocidad. Como última nota, la adecuada velocidad se refiere a menudo como velocímetro velocidad, ya que implica el movimiento del marco de medición de distancia en el marco comenzó,, (creo que el marcador de la milla de signos), y dividiendo por el tiempo en el bastidor móvil, (el reloj en el coche). Adecuada velocidad puede superar los c. Esto es en mantener el ingenio de la relatividad especial, sólo tienes que recordar que tu tiempo se dilata, así que no exceda de c en el marco de laboratorio.