Función de onda "monovaluada" frente a "hasta una fase" (transformación gauge) Existencia de sección global en el haz de líneas completo

Question

Siempre me encuentro con los siguientes dichos: en un caso la gente dice que la función de onda debe ser de un solo valor, en otro caso la gente dice que la función de onda podría ser hasta una fase en el mismo punto si hay una transformación gauge. Estas dos afirmaciones me dejan perplejo. Voy a enumerar algunos casos en los que me he encontrado con estos dichos.

En primer lugar, consideremos una partícula libre en un círculo $S^1$ con radio $r$ . El Hamitoniano es $$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi})^2$$ Entonces la función propia es $$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$$ Porque la función de onda debe ser de un solo valor en $S^1$ , $n$ deben pertenecer a números enteros, es decir $n\in\mathbb{Z}$ .

Segundo caso, considere una partícula en un círculo $S^1$ con radio $r$ y poner el flujo $\Phi$ en el centro del círculo. Entonces el Hamitoniano es $$H=\frac{1}{2mr^2}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{e\Phi}{2\pi})^2$$

La función propia sigue siendo $$\psi= \frac{1}{\sqrt{2\pi r}}e^{i n \phi}$$ También porque la función de onda debe ser de un solo valor en $S^1$ , $n$ deben pertenecer a números enteros, es decir $n\in\mathbb{Z}$ . La única diferencia es que habrá algún desplazamiento del valor propio.

Tercer caso, considere una partícula en un Torus $T^2$ con dos longitudes $L_x$ y $L_y$ . Y ponemos un campo magnético uniforme $B$ a través de la superficie del toroide. Si elegimos la galga de Landau $A_x = 0$ , $A_y= B x$ . El Hamitonian es ahora $$H=\frac{1}{2m}(p_x^2 +(p_y+eBx)^2)$$

Sabemos que en este caso la simetría hamitoniana se llama grupo de traducción magnética . $$T(\mathbf{d})= e^{-i \mathbf{d}\cdot(i\nabla+e \mathbf{A}/\hbar)}$$ es decir $[T(\mathbf{d}),H]=0 $ Por tanto, la función propia $\psi(x,y)$ debe ser invariante bajo $T(\mathbf{d})$ . $$T_x \psi(x,y)=\psi(x+L_x,y)=\psi(x,y)$$ $$T_y \psi(x,y)=e^{-ieBL_yx/\hbar}\psi(x,y+L_y)=\psi(x,y)$$ con $T_x =T((L_x,0))$ y $T_y=T((0,L_y))$ . Así vemos que la función de onda es no de valor único en este caso, es decir $\psi(x,y+L_y)\ne \psi(x,y)$ .

Mi pregunta es : ¿En qué caso, admitimos que la función de onda no es de un solo valor? Vemos todos los casos con el espacio físico multiplicado. Tanto el segundo como el tercer caso son sistemas con campo electromagnético/campo gauge, ¿por qué el primero y el segundo siguen siendo unievaluados pero el tercero no? Parece que la existencia de una topología no trivial del espacio físico o del campo magnético/campo gauge no es la respuesta.

PD: Gracias a @David Bar Moshe, nunca me había dado cuenta de que esta pregunta puede estar relacionada con la sección global de haces de líneas complejas.

Answer 1

En mecánica cuántica la normalización de la función de onda no es importante ya que calculamos las expectativas según: $$\langle O \rangle = \frac{\psi^{\dagger} O \psi}{\psi^{\dagger} \psi}$$ Esta es la razón por la que las funciones de onda se identifican con secciones de haces de líneas complejas. Véase introducción para físicos por Orlando Álvarez.

Cuando un haz de líneas es trivial, su espacio de secciones puede formarse a partir de funciones verdaderas, que deben tener un único valor.

La clase de equivalencia de haces de líneas sobre una variedad $M$ se denomina grupo de Picard $\mathrm{Pic}(M)$ . Cada elemento (además de la unidad) de este grupo da lugar a una cuantización no equivalente en la que el factor de fase no puede eliminarse mediante una transformación gauge.

Consulte Prieto y Vitolo para una breve explicación.

En las variedades diferenciables, el grupo de Picard es isomorfo al segundo grupo de cohomología sobre los enteros

$$\mathrm{Pic}(M) \cong H^2(M, \mathbb{Z})$$

Por ello, rara vez se menciona en los textos de mecánica cuántica, que más bien remiten al elemento correspondiente de $H^2(M, \mathbb{Z})$ que representa la primera clase de Chern.

Hay que recalcarlo:

(1) que incluso cuando el grupo de Picard es trivial o la cuantización corresponde a un elemento trivial, podemos tener funciones de onda con múltiples valores, pero la multiplicidad de valores puede eliminarse mediante una transformación gauge.

(2) La primera clase de Chern no es un clasificador suficiente de cuantizaciones no equivalentes. No detecta efectos como el efecto Aharonov-Bohm. Estos son detectados por un elemento del grupo $ \mathrm{Hom}(\pi_1(M), U(1))$ por ejemplo, Doebner y Tolar .

(3) El colector correspondiente $M$ es el espacio de fase. Dado que el ejemplo dado son partículas puntuales, cuyo espacio de fase es el haz cotangente de un espacio de configuración, la topología no trivial se encuentra en el espacio de configuración y podemos hablar de haces de líneas sobre el espacio de configuración.

Volviendo a sus ejemplos: Los dos primeros describen el movimiento en el círculo $S^1$ . Por razonamiento dimensional $H^2(S^1, \mathbb{Z})=0$ por lo que se puede elegir que las funciones de onda sean funciones verdaderas. El segundo ejemplo se refiere al caso descrito en la segunda observación anterior, ya que $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$

En el tercer ejemplo $H^2(T^2, \mathbb{Z})= \mathbb{Z}$ generadas por múltiplos enteros del elemento de área básico, por lo que para un campo magnético no evanescente las funciones de onda no pueden tomarse como funciones verdaderas.