Cuántas clases de equivalencia en la relación de equivalencia

Question

Consideremos la relación de equivalencia definida sobre el conjunto A = Z \ {0}, donde a~b si y sólo si ab > 0.

Supongo que esto significa que A es el conjunto de todos los números enteros excepto 0.

¿Cuántas clases de equivalencia hay en la relación de equivalencia anterior? Describe cada una de las clases de equivalencia.

Esta es mi primera tarea sobre relaciones de equivalencia, y aún no estoy seguro de entender las relaciones de equivalencia y las clases. Pero supongo que para "formar" una clase, debo seleccionar todos los pares (a,b) que hacen ab = 1 (para la clase de equivalencia 1), todos los que hacen ab = 2 (para la clase de equivalencia 2), etc.

Sin embargo, ¿no significaría eso que hay infinitas clases de equivalencia, ya que cada número entero debe tener una clase propia?

Answer 1

Estás leyendo mal la relación. Escribe $a \sim b$ si $ab > 0$ . Ej. $1 \sim 2$ desde $1\cdot 2 > 0$ De hecho $1 \sim a$ con cualquier $a > 0$ ya que $1a > 0$ . ¿Qué pasa con $a < 0$ ?

Answer 2

Una relación de equivalencia sobre un conjunto $S$ "divide" ese conjunto en subconjuntos disjuntos, llamados clases de equivalencia. Supongamos $\sim$ es una relación de equivalencia y $a \in S$ . La clase de equivalencia de $a$ en $\sim$ denotado $[a]$ se define por

$$[a] := \{ b \in S \,|\, a \sim b\} $$

Así, en tu ejemplo, dado un entero distinto de cero $n$ su clase de equivalencia es el conjunto

$$[n]:= \{ m \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} \, \mid \, nm > 0\}$$

Por definición de una relación de equivalencia, $\sim$ es reflexivo, lo que significa que $a \sim a$ para cada $a \in S$ Así que $a \in [a].$

Utilización de esta propiedad para $2 \in \mathbb{Z}\setminus \{0\},$ vemos que $ 2 \in [2]$ lo que es cierto ya que $2 \cdot 2 >0$ .

$3$ también es miembro de $[2]$ ya que $2 \cdot 3 > 0$ pero $-2 \not\in [2]$ ya que $2 \cdot (-2) < 0,$ por lo que tenemos al menos dos clases de equivalencia distintas.

Espero que esto ayude.