Descomposición de una variedad algebraica en componentes irreducibles

Question

Estoy estudiando el libro de curvas algebraicas de Fulton y me surge la siguiente duda al final de la página 9:

No he entendido por qué se mantienen las siguientes ecuaciones:

$$I\left(\bigcup_i V(F_i)\right)=\bigcap_i I(V(F_i))$$

$$\bigcap_i (F_i)=(F_1\cdots F_r)$$

Gracias de antemano

Answer 1

Ecuación 1:

$$I\left(\bigcup_i V(F_i)\right)=\bigcap_i I(V(F_i))$$

Siguiendo los comentarios de la pregunta, no es más que una tautología:

$\subset$ pieza

$f\in I\left(\bigcup_i V(F_i)\right)\implies f(P)=0, \forall P\in \bigcup_i V(F_i)\implies f(P)=0,\forall P\in V(F_i)\ \text{for every i}\implies P\in I(V(F_i)),\ \text{for every i} \implies P\in \bigcap_i I(V(F_i))$

$\supset$ pieza

$f\in\bigcap_i I(V(F_i))\implies f\in I(V(F_i))\ \text{for every i}\implies f(P)=0\ \text{for}\ P\in V(F_i)\ \text{for every i}\implies f(P)=0\ \text{for}\ P\in \bigcup V(F_i)\implies f\in I\left(\bigcup_i V(F_i)\right)$

Ecuación 2:

$$\bigcap_i (F_i)=(F_1\cdots F_r)$$

$\subset$ pieza

Para el caso $r=2$ (el caso general es similar)

Supongamos que $F_1, F_2$ no están asociados:

$f\in (F_1)\cap (F_2)\implies f=g_1F_1=g_2F_2\implies F_1|g_2F_2\implies F_1|g_2$ el resultado es el siguiente.

(Nótese también que utilizamos el hecho de que los elementos primos son irreducibles y viceversa, porque k[X,Y] es UFD)

$\supset$ pieza

Trivial