Demostrar que $\sum^n_{k=1} k^2 = \binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}$ para $n\geq 2$

Question

Demostrar, para todos $n\geq 2$ que

$$\sum^n_{k=1} k^2 = \binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}$$

Demostremos la base inductiva para $n = 2$

$$\rm{LHS} = 1^2 + 2^2= 1 + 4 = 5$$

$$\rm{RHS} = \binom{3}{2} + 2\binom{3}{3} = 3 + 2\cdot 1 = 5$$

$$\rm{LHS} = \rm{RHS}$$

como desee.

Ahora, supongamos que $k$ ,

$$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \binom{k+1}{2} + 2\binom{k+1}{3}$$

Para demostrar el paso inductivo, basta con demostrar que,

$$\binom{k+2}{2} + 2\binom{k+2}{3} - \binom{k+1}{2} - 2\binom{k+1}{3} = (k+1)^2$$

El LHS puede simplificarse como:

$$\frac{(k+2)!}{2!k!} + 2\left[\frac{(k+2)!}{3!(k-1)!}\right] - \frac{(k+1)!}{2!(k-1)!} - 2\left[\frac{(k+1)!}{3!(k-2)!}\right]$$

$$=\frac{3(k+2)! + 2k(k+2)! -3k(k-1)! - 2k(k-1)(k+1)!}{6k!}$$

$$=\frac{(k+1)!(3k + 6 - 2k^2 - 2k) + (k-1)!(2k^3 + 2k^2 - 3k)}{6k!}$$

$$=\frac{(k+1)!(-2k^2+k+6) + k!(2k^2+2k - 3)}{6k!}$$

$$=\frac{(k+1)(-2k^2 + k + 6) + 2k^2 +2k - 3}{6}$$

$$=\frac{-2k^3 + k^2 + 9k + 3}{6}$$

Estoy bastante seguro de que estoy cometiendo un error en alguna parte, pero no puedo averiguarlo. Si alguien pudiera completar esta prueba inductiva para mí, se lo agradeceré.

Además, no me siento satisfecho con esta fea prueba. Por favor, añade una prueba combinatoria para esto en tu respuesta si es posible.

Answer 1

Si quieres una prueba corta, hay pocas más cortas que usar cálculo de diferencias :

$$\sum_{k=1}^nk^2=\sum_1^{n+1}(k^{\underline{2}}+k^{\underline 1})\delta k=\frac{1}{3}k^{\underline{3}}+\frac{1}{2}k^{\underline{2}}\big|_1^{n+1}=\left(\frac{1}{3}(n+1)^{\underline{3}}+\frac{1}{2}(n+1)^{\underline{2}}\right)-(0+0)={n+1\choose 3}+{n+1\choose 2}$$

Para una introducción, véase el excelente libro Matemáticas concretas .

Sin embargo, si tu tarea es demostrarlo por inducción, entonces debes proceder como has expuesto, que es un buen planteamiento.

Answer 2

Hay una errata en uno de tus pasos, debería ser como sigue (mira el rojo ${\color{red} + }$ ) : $$\frac{3(k+2)! + 2k(k+2)! -3k(k{\color{red}+}1)! - 2k(k-1)(k+1)!}{6k!} \,\,(*)$$

Y entonces, no veo cómo llegaste de ahí a

$$\frac{(k+1)!(3k + 6 - 2k^2 - 2k) + (k-1)!(2k^3 + 2k^2 - 3k)}{6k!}$$

que de hecho no es igual a la primera expresión anterior.

Te recomiendo que intentes eliminar el factor $(k+1)!$ en la expresión anterior $(*)$ arriba.

Otra prueba

Ahora voy a presentar una combinatoria prueba (aunque no estrictamente combinatoria) :

Observación 1: Tenemos $$ k^2 = \binom{k}{2} + \binom{k+1}{2} $$

Observación 2: Para calcular $ S_n = \sum_{k=0}^n k^2 = \sum_{k=0}^n\left\{\binom{k}{2} + \binom{k+1}{2} \right\} $ basta con calcular la suma $A_n = \sum_{k=0}^n \binom{k}{2}$ porque entonces tenemos $S_n = A_n + A_{n+1}$ .

Observación 3: Tenemos $ A_n = \binom{n+1}{3} $ . Ahora viene la parte combinatoria:

Tenga en cuenta que $A_n$ es en realidad el número de "tríos" desordenados que se pueden formar con $\{1,\ldots,n+1\}$ . Efectivamente, $\binom{n}{2}$ es el número de tríos de la forma $\{i,j,n+1\}$ con $1\leq i<j\leq n$ entonces $\binom{n-1}{2}$ es el número de tríos de la forma $\{i,j,n\}$ con $1\leq i < j \leq n-1$ etc. Es decir, $k$ corresponde a la elección del elemento máximo del trío desordenado. Puesto que hay $\binom{n+1}{3}$ tríos desordenados, obtenemos $$ A_n = \binom{n+1}{3} $$

Conclusión: Tenemos $$ S_n = \binom{n+1}{3} + \binom{n+2}{3}$$ pero recuerda que $\binom{n+2}{3} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2}$ (esto tiene una intepretación combinatoria bien conocida), y así

$$ S_n = \binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}$$ como desee. $\square$

Observación Por el mismo argumento anterior, en realidad demostramos que $$\sum_{k=0}^n \binom{k}{r} = \binom{n+1}{r+1}$$

Answer 3

Quizás este enlace de Wikipedia puede resultar útil. Las sumas se calculan mediante telescópico cada una de las cuales se basa en el resultado de la anterior, que en este caso es $\sum_1^n k=\frac{n(n+1)}2$ por ejemplo como este .