¿Cuál es la longitud de un módulo semisimple, si está definido?

Question

Sea $R$ sea un anillo, $M$ a semisimple, izquierda $R$ -módulo. Así, hay módulos simples $M_i$ para $i\in I$ con $$M=\bigoplus_{i\in I} M_i$$ ¿Es la longitud de $M$ igual a la cardinalidad de $I$ ?

Answer 1

Yo interpretaría lo que dices como la composición longitud de $M$ que normalmente sólo se discute en el caso finito. Sí, si $I$ es finito, la longitud de composición de este módulo es $|I|$ .

Tal vez algunas personas sí se fijan en las longitudes de composición de diferentes cardinalidades infinitas y distinguen: No veo razón para no hacerlo. Veo varias referencias a la "longitud de composición infinita", pero no me topé con ninguna que especializara la longitud para prestar atención a la cardinalidad.