¿Cómo afectan los cambios en α a β para un BJT?

Question

Demostrar que para un transistor con cerca de la unidad, si cambia en una pequeña cantidad por unidad ( / ), el correspondiente cambio por unidad en viene dado aproximadamente por

$$\frac{\Delta\beta}{\beta}\approx\beta\left(\frac{\Delta\alpha}{\alpha}\right)$$

Conozco las ecuaciones:

$$\alpha=\frac{\beta}{1+\beta} \textrm{ and } \beta=\frac{\alpha}{1-\alpha}$$

Pero no estoy seguro de lo que / realmente significa. Intenté suponer que se trataba de una aproximación lineal, pero tras largos garabatos, eso no me llevó a ninguna parte:

$$\alpha'=\alpha\left(1+\frac{\Delta\alpha}{\alpha}\right)$$

Answer 1

Como alternativa a la respuesta de @Chu, utilice el análisis de sensibilidad para determinar \$\beta\$ a los cambios en \$\alpha\$ .

$$ S_{\alpha}^{\beta} =\lim_{\Delta \alpha \to 0}\left \{ \frac{\Delta \beta / \beta}{\Delta \alpha / \alpha} \right \}=\frac{\alpha}{\beta} \frac{\partial \beta}{\partial \alpha} = \frac {1}{1-a} $$

Ahora, como @Chu ya ha mencionado, ya que \$\alpha \approx 1\$ (a través del planteamiento del problema),

$$ \frac {1}{1-\alpha} \biggm \rvert_{\alpha \approx 1} \approx \frac {\alpha}{1-\alpha} = \beta $$

Así que..,

$$ \frac {\Delta \beta}{\beta} = \frac {1}{1-\alpha} \: \frac {\Delta \alpha}{\alpha} \approx \frac {\alpha}{1-\alpha} \: \frac {\Delta \alpha}{\alpha} = \beta \: \frac {\Delta \alpha}{\alpha} $$

para \$\alpha \approx 1\$ como \$\Delta \alpha \to 0\$ .

Answer 2

Sea $$ \beta + \Delta \beta =\dfrac{\alpha +\Delta \alpha}{1-(\alpha +\Delta \alpha)}$$

entonces $$ \Delta \beta =\dfrac{\alpha +\Delta \alpha}{1-(\alpha +\Delta \alpha)}-\dfrac{\alpha}{1-\alpha}$$

Haz la resta; divide ambos lados por \$\beta\$ ; a continuación, observe que, dado que \$\alpha\approx 1\$ : $$\dfrac{1}{1-\alpha}\approx \dfrac{\alpha}{1-\alpha}=\beta$$