¿Longitud de Planck a velocidades relativistas?

Question

Actualmente estoy en la escuela secundaria, así que lo siento si la respuesta a esta pregunta parece obvia, pero sólo estoy aprendiendo acerca de estas cosas. He estado aprendiendo sobre relatividad especial, en particular sobre la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. Me preguntaba, si la Longitud de Planck es la longitud observable más pequeña posible, ¿cuál sería entonces la longitud de Planck medida por un observador que viajara a velocidades relativistas? ¿Sería la misma o observaría una longitud menor?

Answer 1

Esta es una gran pregunta perspicaz para un estudiante de secundaria, gracias. La razón de la contracción de la longitud se reduce a una diferencia en lo que dos personas consideran simultaneidad. La única forma de medir la distancia es marcar un lugar y otro, y luego calcular la distancia entre ellos. Si lo que se mide está en movimiento, hay que hacer las dos marcas al mismo tiempo. Aquí está el gran problema: los observadores que se mueven a diferentes velocidades tienen diferentes nociones de cuándo dos marcas son simultáneas, por lo que pueden medir el mismo objeto y obtener dos longitudes diferentes. Supongamos que mido un coche que pasa rodando. Pongo una marca de tiza en el suelo justo donde está la parte delantera del coche y, unos segundos después, pongo otra marca justo donde está la parte trasera. Cuando mido la distancia entre las marcas, veo que el coche mide sólo 1,5 metros. Sorprendente, porque en realidad es mucho más largo. Pero la razón es simplemente que hice las marcas en momentos diferentes mientras el coche se movía; para obtener la respuesta correcta habría tenido que hacer ambas marcas simultáneamente. La relatividad parece rara porque cambia cuando los sucesos son simultáneos. Si yo mido dos puntos con una longitud de Planck de distancia, y tú miras mi medida y parece más corta, es porque estás midiendo la posición de cada punto en momentos diferentes mientras tú/ellos se mueven. Una longitud de Planck sigue siendo una longitud de Planck en tu marco, y mi longitud de Planck "acortada" no es en realidad algún tipo de longitud ilegalmente diminuta, al igual que el coche no mide en realidad 1,5 metros.

(Editado:) Otra respuesta, aunque menos útil, es que no se podría medir una distancia inferior a la longitud de Planck porque no se puede construir un dispositivo de medición en el mundo real que resuelva distancias tan pequeñas. Lo mejor que obtendrías es una medida que "redondearía" a una longitud de Planck en tu marco, lo que podría ser confuso si no entendieras la fuente del "error" de medida.

Answer 2

Esta es una pregunta muy buena, y físicos serios como Lee Smolin se la han estado planteando. Según la Relatividad Especial (y General) cualquier observador inercial debería obtener el mismo valor para la longitud de Plank en términos de sus propias unidades. Así que la longitud de Planck calculada en un marco que veo en movimiento debería ser el mismo número de unidades de ese marco que la longitud de Planck que calculo en el mío. Pero como el fotograma en movimiento tiene unidades más cortas, su correspondiente longitud de Planck debería parecerme más corta de lo que es una longitud de Planck para mí.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que la longitud de Planck no es una propiedad de un objeto real, sino la escala a la que se manifiestan los efectos de la gravedad cuántica. Así que una interpretación de la contracción es que para un viajero que se mueve en relación a mí, los efectos de la cuantización de la gravedad sobre los objetos en el marco del viajero se hacen evidentes para mí a escalas más largas que para el viajero. (Y a la inversa, el viajero ve efectos cuánticos en mí a escalas de longitud a las que yo aún no los noto).

Ésta es una de las muchas cosas que tendrá que resolver una teoría cuántica adecuada de la gravedad.

Answer 3

Estoy de acuerdo con la respuesta de alQpr. Añadiré un ejemplo concreto.

La longitud de Planck es $l_P = \sqrt{\hbar G/c^3} = 1.6 \times 10^{-35}$ m. Consideremos una perturbación en el espaciotiempo, como una onda gravitatoria o una onda electromagnética, con una longitud de onda $100$ veces más largo que éste, observado en algún sistema de referencia inercial: $\lambda = 100 \, l_P \simeq 1.6 \times 10^{-33}$ m. Parece razonable afirmar que tal onda podría ser posible. (Dicho esto, una onda así sería susceptible de perder energía muy rápidamente, ya que bastaría una mínima interacción con otra cosa para generar pares electrón-positrón o dispersión o conversión paramétrica descendente en ondas de menor frecuencia).

Consideremos ahora un marco inercial que se mueve a $v = 0.999998\,c$ con respecto al primer fotograma, lo que da un factor de Lorentz $\gamma = 500$ . En este caso la fórmula del efecto Doppler da, para la longitud de onda en este marco, $$ \lambda' = \sqrt{ \frac{1 - v/c}{1+v/c} } \, \lambda = 10^{-3} \lambda = 0.1 \, l_P $$ Por tanto, si el cálculo es correcto, ahora tenemos una onda cuya longitud de onda es diez veces menor que la longitud de Planck.

La situación es la siguiente. Es posible que se pueda tener una onda con una longitud de onda tan corta como esa. La dificultad no estriba en que sepamos que es imposible; la dificultad estriba en que sospechamos que cualquier teoría física existente actualmente razonablemente bien elaborada por los físicos no describirá correctamente tal fenómeno. Así que no sabemos si la fórmula del efecto Doppler que acabo de utilizar seguiría siendo aplicable. En resumidas cuentas, no sabemos cómo calcular la física cuando se trata de una combinación de una longitud cercana a Planck y una velocidad relativa elevada.

Answer 4

Hay dos aspectos que debe tener en cuenta para la respuesta:

1.El espaciotiempo de la relatividad especial no considera las longitudes, sino sólo las distancias de las líneas del mundo.

La relatividad especial consta de dos postulados: el primero dice que en cada marco de referencia se aplican las mismas leyes físicas y el segundo, que la luz se observa como si se moviera con la velocidad de la luz. Como puedes ver, la relatividad especial ayuda a describir las líneas del tiempo y de la luz (de las partículas de masa y de los fenómenos luminosos), pero no dice absolutamente nada sobre el vacío entre partículas que permitiría llenar el espacio entre partículas para obtener una longitud.

Del mismo modo, el ejemplo más actual para la explicación de la contracción de la longitud se refiere a algún objeto macroscópico rígido. Esto es una burda simplificación porque según la relatividad especial no existen objetos perfectamente rígidos. Según la relatividad especial, todo objeto rígido se compone de sus partículas con sus fuerzas interactuantes que pueden proporcionar una rigidez elevada, pero no perfecta.

En cambio, la relatividad especial puede considerar distancias recorridas en la medida en que se refieran a líneas de tiempo o de luz de las partículas.

2.Según tu pregunta y según la contracción de Lorentz de la relatividad especial, tales distancias son observadas como contraídas por observadores en movimiento. Esto se aplica también a las constantes de distancia como la longitud de Planck.

La contracción de Lorentz es un fenómeno específico del marco de un observador. Una distancia recorrida por una partícula que se observa con una longitud de un año luz desde el punto de vista del sistema de referencia de un observador en reposo se observa más pequeña (contraída) desde el punto de vista de observadores con una velocidad relativa relativista con respecto a la partícula que viaja. La distancia puede estar sujeta a una contracción arbitrariamente alta, para un observador que se mueve muy cerca de la velocidad de la luz con respecto a los dos eventos que limitan la distancia. Pero es evidente que el hecho de la observación no cambia los datos del viaje de la partícula. La partícula no recorre la distancia contraída que es observada por los observadores (de lo contrario se podría preguntar: ¿de qué observador? con respuestas contradictorias) sino la distancia antes de la contracción de Lorentz que es simplemente la distancia más larga que se puede medir.

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es: Sí, un observador que viaja a velocidad relativa relativista con respecto al sistema de referencia de una partícula puede observar cualquier distancia como contraída, incluso constantes como la longitud de Planck.

Answer 5

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud están relacionadas con los campos de vibración del objeto en movimiento a nivel cuántico. La materia se compone de estos campos de energía unidos-intensificados. La amplitud de las vibraciones a nivel cuántico se amplía por la energía añadida en el sistema durante la aceleración. Esta energía añadida también se denomina impulso. Estos cálculos dependen del observador. El objeto en movimiento/viajero los determina como de costumbre como se explica en la primera respuesta.