Hay una "intención" modelo de los números reales en el mismo sentido, hay uno para los números naturales?

Question

Antecedentes: sabemos que el PA tiene más modelos de la intención de modelo, N, porque no es lo suficientemente fuerte y también está satisfecho por la no-intención de modelos, conocidos como no-estándar de los modelos de la aritmética. Cuando hablamos del modelo estándar N, que de alguna manera se supone que hay alguna manera de describir sin ambigüedad, por lo que está bien definido y puede ser identificado como el único modelo que es isomorfo a los números naturales que usamos a diario. Cada declaración de PA tiene un valor de verdad en N (verdadero o falso, independientemente de nuestra capacidad de conocer la respuesta). Pero no estoy seguro de si ese es también el caso de los números reales. De manera informal, son un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. También, se pueden definir axiomáticamente hasta un isomorfismo de diferentes maneras. Ellos también se ha demostrado para "llenar" la recta real, por lo que no hay más números que ellos.

Pregunta(s): Cada declaración acerca de la naturals tiene un determinado valor de verdad: ¿Es este el mismo caso para los reales? son definidos con tal precisión? Mi duda viene por el hecho de que hay modelos de la teoría de conjuntos en los que la CH es cierto y otros en los que es falso. ¿Quiere esto decir que el real reales no tienen un determinado valor de verdad para el CH, o qué significa que tienen un valor específico (que aún no lo sabemos), y que los modelos con un valor diferente son los modelos de la no-estándar de reales?

Answer 1

Los números reales, como los números naturales, tienen una canónica de segundo orden del modelo. Esto significa que, dado un modelo de la teoría de conjuntos no es sólo un modelo de isomorfismo.

Por supuesto, este modelo puede cambiar si cambiamos el modelo de la teoría de conjuntos, pero el modelo estándar de los números naturales. Que es si $M$ $N$ son de diferentes modelos de ZFC pueden disponer de diferentes colecciones de lo que ellos perciben como números naturales o como números reales.

Cuando hablamos de los números reales como un primer orden de la teoría a menudo consideramos la teoría de la real campos cerrados. Podemos considerar los modelos de esta teoría que no son estándar. Por ejemplo, el hyperreal campo es un ejemplo de ese modelo, y no estándar de los modelos son útiles para los no-estándar de análisis. Lo que hace que ellos no estándar? Además, suelen tener el "infinito" de los números, que son números que son más grandes que cualquier finito repetición de la adición de $1$ a sí mismo, de manera parecida a como no-estándar de números enteros existen en la no-estándar de los modelos de PA.

Sin embargo CH no tiene nada que ver con esto. Porque CH no es algo que realmente puede formular en el lenguaje de la ordenó campos. En esta teoría que realmente no podemos decir que un conjunto tiene una mayor cardinalidad que el otro. Esto sería equivalente a preguntar si hay o no hay no-estándar en los modelos de los números reales, porque las hay que no abelian grupos, y por lo tanto, un grupo abelian es independiente de la teoría de grupo (que los números reales son un modelo de, por supuesto).

Es cierto que dentro de un plazo de modelo de ZFC en el modelo estándar de los números naturales es siempre contables; pero también es cierto que los números reales siempre tienen cardinalidad igual a la potencia de conjunto del modelo estándar de los números naturales, es decir, $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}$, independientemente de ser $\aleph_1$ o $\aleph_{50043}$. De hecho, esto es cierto incluso si el axioma de elección falla y $2^{\aleph_0}$ no es un ordinal.

Answer 2

En primer lugar usted necesita para darse cuenta de que, dado un determinado modelo de $M$ de una teoría de la $T$, por cualquier declaración en el idioma sostiene que la declaración es verdadera en $M$ o false en $M$. No existen otras posibilidades. En ese sentido, cualquier modelo fijo de PA o de los números reales (cualquiera que sea la teoría que desea designar como la teoría de los reales) es ambigua y se decide cada enunciado como verdadero o falso.

Ahora, las cosas se vuelven menos clara a la hora de considerar las consecuencias de la teoría de la $T$ más que en el estudio de un modelo en particular. Como PA, como una de primer orden de la teoría de que en realidad tiene muchos modelos no estándar. Pero, si se añade a PA, la segunda orden de declaración de inducción, a continuación, se convierte categórica (lo que significa que cada dos modelos son isomorfos). Un fenómeno similar es la verdad de los números reales. El primer orden de la teoría de los reales permite que los modelos no estándar. Pero, si se agrega la integridad axioma, entonces resulta categórica.

Dado que la mayoría de las personas que trabajan con los números naturales aceptar el principio de la inducción (mucho más fuerte, en realidad, se acepta el axioma de elección) no es, básicamente, un modelo de los números naturales. Dado que la mayoría de las personas que trabajan con los reales ciertamente aceptar el axioma de completitud (y la mayoría también aceptar el axioma de elección) no es, básicamente, un modelo de los reales.

Cabe señalar, aunque la gente a veces deliberadamente considerar modelos no estándar, como en el análisis no estándar, para los propósitos del estudio de muy ordinario análisis. Tiene ventajas y desventajas.