¿Es el rango de un conjunto completamente continuo de dimensión finita?

Question

Definición de operador completamente continuo : $L$ es un operador continuo y mapea un conjunto acotado a relativamente compacto set , then $L$ es un operador completamente continuo.

Sea $\Omega$ es un conjunto acotado de un espacio de Banach y $L$ es completamente continua. Es $L(\Omega)$ ¿conjunto de dimensión finita?

Answer 1

No. He aquí un ejemplo prototípico. Dejaré los detalles de la prueba.

Supongamos que $H$ es un espacio de Hilbert con una base ortonormal $(\phi_n)$ y que $(\lambda_n)$ sea una sucesión de números convergentes a $0$ . Defina

$$T f = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n (\phi_n,f) \phi_n.$$

Entonces $T$ es compacto (la imagen de cualquier conjunto acotado es relativamente compacta).

Tenga en cuenta que la gama de $T$ es finitamente dimensional si y sólo si todos menos finitamente muchos $\lambda_n$ son cero. De hecho, cualquier operador compacto autoadjunto sobre $H$ es de esta forma.

Sin embargo, me gustaría añadir que su intuición iba en la dirección correcta, ya que $T$ es el límite en la norma del operador de la secuencia de los operadores de rango finito $T_N$ obtenido tomando sólo el primer $N$ y, más en general, el espacio lineal de los operadores compactos es el cierre de los operadores de rango finito.