Hay que tener en cuenta que es casi imposible explicar cómo los cálculos perturbativos de QFT se derivan de los lagrangianos de forma que la respuesta sea a la vez relativamente corta y detallada. Así que voy a escribir una respuesta introductoria. Si quieres más detalles sobre alguna de sus partes, puedes buscar en los libros de texto, o puedes hacérmelo saber en los comentarios, en cuyo caso consideraré actualizar esta respuesta.
Supongamos que su modelo tiene $n$ campos cuánticos (pueden organizarse como multipletes de Poincare o ser todos escalares, para lo que sigue no importa). La expresión genérica para el término cuadrático en el Lagrangiano es entonces
$$ \mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \left( K_{ab} \partial_{\mu} \phi^{a} \partial^{\mu} \phi^{b} - M_{ab} \phi^{a} \phi^{b} \right). $$
(En realidad, si algunos de los campos tienen índices espaciotemporales, podría haber términos adicionales como $N_{\alpha a} \psi_{\mu}^{\alpha} \partial^{\mu}\phi^{a}$ pero pueden tratarse de la misma manera, por lo que no perderemos generalidad si ignoramos esta cuestión aquí).
Primero nos gustaría reexpresar este Lagrangiano, usando integración por partes (recuerda que el Lagrangiano se integra sobre el espaciotiempo para dar la acción del sistema que describe su dinámica), como sigue:
$$ \mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \phi^{a} \hat{Q}_{a b} \phi^{b}, $$
donde $\hat{Q}$ es el operador diferencial lineal de segundo orden que actúa sobre los campos. Se denomina operador de Euler-Lagrange porque genera las ecuaciones clásicas de movimiento a través de
$$ \hat{Q}_{ab} \phi^{b}_{\text{classical}} = 0. $$
Por ejemplo, para el multiplete de campos de Klein-Gordon resulta
$$ \hat{Q}_{ab} = \delta_{ab} \Box + M_{ab}, $$
donde $M_{ab}$ se denomina matriz de masa. La base en la que $M_{ab}$ es diagonal es una base adecuada para expresar campos asociados a partículas elementales, siendo los valores diagonales las masas al cuadrado de las partículas elementales. El operador de d'Alambert es $\Box = \partial_{\mu} \partial^{\mu}$ .
En la teoría cuántica queremos calcular el propagador, o el producto ordenado en el tiempo de dos operadores de campo:
$$ \Delta^{ab} (x, y) = \left< \phi^{a}(x) \phi^{b}(y) \right>. $$
Resulta que el propagador es igual a la función de Feynman Green del operador diferencial $\hat{Q}$ que puede derivarse en el formalismo de la integral de trayectoria:
$$ \hat{Q}_{ab}(x) \Delta^{bc} (x, y) = i \delta_a^c \delta^{(4)} (x - y). $$
Esto es lo que se entiende por tratar adecuadamente el término cuadrático en el Lagrangiano.
En este punto cabe mencionar que a veces el operador $\hat{Q}_{ab}$ es singular es decir, no tiene inversa en la clase de funciones con condiciones de contorno de radiación. Esto se debe a la invariancia gauge. El caso más simple en el que esto ocurre es en el lagrangiano libre de Maxwell.
La forma moderna de tratar esto es mediante la manipulación formal con integrales de trayectoria llamada procedimiento Faddeev-Popov, que introduce términos adicionales en el Lagrangiano (término de fijación gauge y quizás campos fantasma). El Lagrangiano resultante sigue siendo aplicable al mismo modelo físico (lo que está garantizado por el procedimiento Faddeev-Popov), pero su operador diferencial no es singular y se puede calcular el propagador. Este propagador resulta ser no físico y depende del parámetro de fijación gauge no físico, pero cuando se utiliza para calcular elementos de la matriz S entre estados físicos, la dependencia del parámetro no físico desaparece y se restaura la invariancia gauge.
(De hecho, la invariancia gauge sigue presente en el Lagrangiano modificado en forma de supersimetría BRST. No hay que confundirla con SUSY).
Consideremos ahora una perturbación del Lagrangiano, es decir, un término de orden superior. Nos ocupamos de estas perturbaciones utilizando, de forma poco imaginativa, la teoría de perturbaciones. En el formalismo de la integral de trayectoria se puede hacer expandiendo en Taylor el exponencial del Lagrangiano de interacción y convirtiéndolo en una parte del funcional de correlación, manteniendo el término cuadrático como el funcional de acción efectiva. Entonces podemos aplicar el teorema de Wick (que sólo es válido para acciones cuadráticas, pero oye, eso es lo que queda después de expandir el término de interacción) y eso nos llevaría a las reglas de Feynman.
Esta parte suele ser la misma en todas las teorías, y las reglas de Feynman finales pueden predecirse fácilmente simplemente observando la estructura del término de interacción en el Lagrangiano. Esto es lo que se entiende por "leer las reglas de Feynman".
Por ejemplo, consideremos un único campo de Klein-Gordon con un término de interacción de 4º orden
$$ \mathcal{L}_4 = - \frac{\lambda}{4!} \phi^4. $$
Nos gustaría Taylor-expandirlo en cualquier expresión para la función de correlación de cualquier funcional $F$ :
$$ \left< F[\phi] \right> = \int D\phi \exp \left[ i \int (\mathcal{L}_2 + \mathcal{L}_4) \right] F[\phi] = $$
$$ \left< F[\phi] \left( 1 + i \int \mathcal{L}_4 + \frac{i^2}{2} \intop_x \intop_y \mathcal{L}_4 (x) \mathcal{L}_4 (y) + \dots \right) \right>_0, $$
donde el subíndice $<>_0$ significa que utilizamos la acción de la teoría libre, que es $\int \mathcal{L}_2$ para el que es aplicable el teorema de Wick.
Cada integral de la serie anterior corresponde entonces a la adición de un vértice de interacción al diagrama de Feynman. La expresión para el vértice es fácil de deducir: es igual a
$$ - \frac{i \lambda}{4!} \int d^4 x, $$
con la integral sobre la posición del vértice. El factor de $4!$ también aparece en el numerador porque tenemos exactamente $4!$ formas de contraer 4 operadores en el mismo punto con otros 4 operadores por propagadores. De este modo, los factores se anulan (de hecho, esta fue la razón por la que elegimos $\lambda$ tal que $4!$ entra en el denominador de $\mathcal{L}_4$ en primer lugar).
Por lo tanto, podríamos mantener $4!$ en la expresión del vértice y considerar el $4!$ diferentes contracciones que aparecen después de utilizar el teorema de Wick no son equivalentes, o podemos considerarlas equivalentes y cancelar los factores de $4!$ que es lo que se suele hacer en la literatura.
Espero que esto responda a su pregunta.
