suma de abel y serie armónica

Question

¿Es posible demostrar que para la serie armónica regularizada

$$ \tag 1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n\epsilon}}{n}=\gamma + 1/\epsilon $$

si epsilon es muy pequeño $ \epsilon \to 0 $ puedo utilizar $ e^{-n\epsilon}=1-n\epsilon $ a la serie armónica aparecen

sin embargo si utilizo el Polilogaritmo obtengo

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n\epsilon}}{n}=log(1-e^{-\epsilon})$$

por lo que no aparecen constantes, ¿cómo puedo probar $(1)$ ?

Answer 1

En general, se puede considerar la serie de potencias $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$$ que se define (y $\mathcal{C}^\infty$ ) en el balón abierto $(-1,1)$ . Usando esto, y teoremas estándar sobre series de potencias, tienes $$f^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{d}{dx}\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty x^{n} = \frac{1}{1-x}$$ y puesto que $f(0)= 0$ (utilizando la primera expresión como una serie infinita), se obtiene $$f(x) = \int_{0}^x \frac{dt}{1-t} = -\ln(1-x)$$ Ahora, enchufando $x=e^{-\epsilon}\in(0,1)$ (para $\epsilon > 0$ ), se obtiene $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n\epsilon}}{n} = f(e^{-\epsilon}) = -\ln(1-e^{-\epsilon}) \operatorname*{=}_{\epsilon\to 0^+} \log \frac{1}{\epsilon}+\frac{\epsilon}{2}+o(\epsilon)$$

Por lo tanto, si he entendido bien su pregunta, la respuesta es no no puede demostrar (1) - ya que no es cierto.

Answer 2

No se puede demostrar (1) porque no es cierto. De hecho $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n\varepsilon}}{n}\sim -\log(\varepsilon)$$ como $\varepsilon\to 0^+$ por lo que no puede ser equivalente a $1/\varepsilon$ , como se deduce de (1).

La equivalencia anterior se demuestra de la siguiente manera: como usted ha mencionado, $\sum_{1}^\infty \frac{e^{-n\varepsilon}}{n}=-\log(1-e^{-\varepsilon})$ ; pero $1-e^{-\varepsilon}=\varepsilon+O(\varepsilon^2)$ porque $e^{-\varepsilon}=1-\varepsilon +O(\varepsilon^2)$ Así que $$\log(1-e^{-\varepsilon} )=\log(\varepsilon+O(\varepsilon^2))=\log(\varepsilon)+\log(1+O(\varepsilon))\sim\log(\varepsilon)\, ,$$ que da el resultado.