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suma de abel y serie armónica

¿Es posible demostrar que para la serie armónica regularizada

n=1enϵn=γ+1/ϵ

si epsilon es muy pequeño ϵ0 puedo utilizar enϵ=1nϵ a la serie armónica aparecen

sin embargo si utilizo el Polilogaritmo obtengo

n=1enϵn=log(1eϵ)

por lo que no aparecen constantes, ¿cómo puedo probar (1) ?

2voto

Clement C. Puntos 16603

En general, se puede considerar la serie de potencias f(x)=n=1xnn que se define (y C ) en el balón abierto (1,1) . Usando esto, y teoremas estándar sobre series de potencias, tienes f(x)=n=1ddxxnn=n=1xn1=n=0xn=11x y puesto que f(0)=0 (utilizando la primera expresión como una serie infinita), se obtiene f(x)=x0dt1t=ln(1x) Ahora, enchufando x=eϵ(0,1) (para ϵ>0 ), se obtiene n=1enϵn=f(eϵ)=ln(1eϵ)=ϵ0+log1ϵ+ϵ2+o(ϵ)

Por lo tanto, si he entendido bien su pregunta, la respuesta es no no puede demostrar (1) - ya que no es cierto.

1voto

Etienne Puntos 9562

No se puede demostrar (1) porque no es cierto. De hecho n=1enεnlog(ε) como ε0+ por lo que no puede ser equivalente a 1/ε , como se deduce de (1).

La equivalencia anterior se demuestra de la siguiente manera: como usted ha mencionado, 1enεn=log(1eε) ; pero 1eε=ε+O(ε2) porque eε=1ε+O(ε2) Así que log(1eε)=log(ε+O(ε2))=log(ε)+log(1+O(ε))log(ε), que da el resultado.

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