Cálculo de un límite con número armónico

Question

Intento demostrar que

$\lim_{n\to\infty} (\frac{\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}} { \ln(n) })^{ \ln(n) } = e^$ donde $$ la constante de Euler-Mascheroni. Sabemos que eso:

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}}{ \ln(n) } = 1$

Aproximando la suma con integrales $$ \ln(n+1)=\int_1^{n+1}\frac1x\mathrm dx\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le 1+\int_1^n\frac1x\mathrm dx=1+\ln n $$ desde $1/k$ es decreciente para $k\ge 1$ . Tenemos que $$ \frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\frac{\ln n+\ln(1+\frac1n)}{\ln n}\to1 $$ como $n\to\infty$ y obtenemos el resultado. Pero no puedo calcular $\lim_{n\to\infty} (\frac{\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}} { \ln(n) })^{ \ln(n) } = e^.$ ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sus estimaciones son un poco demasiado curso. Recordemos, $\gamma = \lim_{n\rightarrow\infty} H_n-\ln(n)$ y $e^x=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+x/n)^n$ . Así que en este caso,

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{H_n}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{H_n-\ln(n)+\ln(n)}{\ln(n)} \right)^{\ln(n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{H_n-\ln(n)}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)}.$$

Sea $g_n:=H_n-\ln(n)$ . Entonces el interior del límite es equivalente a:

$$\exp[\ln(n)\ln(1+g_n/\ln(n))]=\exp[g_n+\ln(n)o(g_n/\ln(n))],$$

lo que da el resultado deseado ya que $g_n$ se aproxima a una constante.

Answer 2

Podemos escribir

$$\sum_{k=1}^n \frac1k =\log(n)+\gamma+O\left(\frac1n\right)\tag1$$

Dividir $(1)$ por $\log(n)$ revela

$$\begin{align} \left(\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\log(n)}\right)^{\log(n)}&=\underbrace{\left(1+\frac{\gamma}{\log(n)}\right)^{\log(n)}}_{\to \gamma}\underbrace{\left(1+\frac{O\left(\frac1{n}\right)}{\log(n)+\gamma}\right)^{\log(n)}}_{\to 1} \end{align}$$

¡Y ya está!

Answer 3

Quiere mostrar $\lim_{n\to\infty} (\frac{\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}} { \ln(n) })^{ \ln(n) } = e^γ $ .

Sea $f(n) =(\frac{\sum^n_{k=1} \frac{1}{k}} { \ln(n) })^{ \ln(n) } $ .

$\begin{array}\\ g(n) &=\ln(f(n))\\ &=\ln(n)(\ln(\sum^n_{k=1} \frac{1}{k})-\ln(\ln(n)))\\ &=\ln(n)(\ln(\ln(n)+\gamma+O(1/n))-\ln(\ln(n)))\\ &=\ln(n)(\ln\ln(n)+\ln(1+\gamma/\ln(n)+O(1/(n\ln(n)))-\ln(\ln(n)))\\ &=\ln(n)(\ln(1+\gamma/\ln(n)+O(1/(n\ln(n))))\\ &=\ln(n)(\gamma/\ln(n)+O(1/(\ln^2(n))))\\ &=\gamma+O(1/(\ln(n))))\\ &\to \gamma\\ \end{array} $