Coloreando dos caras de un icosaedro

Question

Supongamos que tienes un icosaedro regular sólido (un politopo con 20 lados, todos los cuales son triángulos equiláteros), y todos los lados son blancos.

(a) ¿De cuántas formas se pueden pintar exactamente dos lados de rojo?

(b) ¿De cuántas formas se puede pintar un lado de rojo y otro lado de azul?

Dos coloraciones se consideran iguales si una se puede convertir en la otra rotando el icosaedro en el espacio.

Intenté hacerlo mapeando qué lados están conectados entre sí, pero no pareció ayudar. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Como dijo Christian Blatter en los comentarios, colorear las caras del icosaedro regular es lo mismo que colorear los vértices de su dual, el dodecaedro regular.

Ahora, el dodecaedro regular $D$ es un poliedro llamado distance-transitive (como también lo son todos los demás sólidos platónicos). Esto significa que para cualquier par de pares $(v,w),(v',w')$ de vértices con distancia grafico-teórica idéntica a lo largo del grafo de aristas (es decir, $\mathrm{dist}(v,w)=\mathrm{dist}(v',w')$), hay una simetría de $D$ que mapea $v$ a $v'$ y $w$ a $w'$.

En otras palabras, para cualquier $\delta\in\Bbb N$, hay, hasta la simetría, a lo sumo un par $(v,w)$ de vértices (del mismo color o diferente, no importa) con distancia $\delta$. Y dado que el grafo de aristas del dodecaedro tiene diámetro cinco, $\delta$ puede tomar los valores $1,2,3,4$ y $5$.

Entonces, la respuesta a (a) y (b) es cinco.

---

Como bono, tienes una respuesta para todos los sólidos platónicos: la respuesta a (a) y (b) siempre es el diámetro del grafo de aristas de su dual. Y lo mismo se aplica a todos los politopos regulares en todas las dimensiones, excluyendo las excepciones de 4 dimensiones (que no son distance-transitive).

Answer 2

Siguiendo la idea de @JMoravitz, considera qué sucede si coloreas un triángulo de rojo y un triángulo vecino que comparte un borde de azul. Todas esas coloraciones son equivalentes. Lo mismo ocurre con las coloraciones rojo-rojo. Por otro lado, si coloreas de azul un triángulo que solo comparte un vértice, entonces hay dos coloraciones inequivalentes. Sin embargo, solo hay una coloración rojo-rojo.

Para completar estos argumentos, primero debes explicar por qué cualquier triángulo dado siempre se puede rotar al triángulo inicialmente coloreado de rojo. Luego considera rotaciones alrededor del centroide del triángulo rojo. En el caso de coloraciones rojo-rojo, debes considerar una rotación alrededor del vértice compartido, lo que intercambia los dos triángulos rojos.

Esto se encarga de los 9 triángulos que están a una distancia de uno (medida en términos de movimientos de un triángulo a uno vecino que comparte un borde) o dos del triángulo inicial. Hay 6 triángulos más que están a una distancia de tres, 3 a una distancia de cuatro, y solo uno a una distancia de cinco. Puedes visualizar la distancia como la distancia entre los vértices del grafo dual, el grafo dodecaédrico.