Una propiedad sobre la convergencia uniforme

Question

Supongamos una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ converge en $(a,b)$ y cada $u_n(x)$ es continua en el intervalo $(a,b)$ pero esta serie diverge en $x=a$ o $x=b$ ¿podemos deducir que $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ no converge uniformemente en $(a,b)$ ?

Por ejemplo, $\sum_{n=1}^{\infty}x^n$ converge en el intervalo $(0,1)$ pero no uniformemente en el intervalo, ya que diverge en $x=1$ .

Conjeturo que es cierto, pero me cuesta dar la prueba.

Cualquier corrección o mejora será bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Considéralo, $u_n(x) = 0$ en $(a, b)$ , $u_n(x) = 1, x=a$ o $x = b$ . Se obtiene una convergencia uniforme en $(a, b)$ pero divergencia en los puntos finales.

Edición de continuidad: Que $s_n$ sea la suma parcial de $u_i$ hasta el término n. Supongamos que la secuencia no converge en $a$ Eso es, $$\exists\epsilon > 0, \forall n_0 \exists n,m > n_0, |s_n(a) - s_m(a)| > \epsilon \tag{*} \label{*}$$ Además, supongamos que, $$\forall n\forall\epsilon'> 0 \ \exists\delta > 0\ | x\in(a, a + \delta) \implies |s_n(x) - s_n(a)| \leq \epsilon' \tag{**} \label{**}$$ Demostraremos que la secuencia $s_n$ no es uniformemente Cauchy.

Toma $\epsilon$ dada por $\eqref{*}$ . Elige algunos $n_0$ toma el $n, m$ por $\eqref{*}$ . Para cada una de $n, m$ invoque $\eqref{**}$ con $\epsilon' = \epsilon / 4$ . Tome el mínimo de los $\delta$ dada por \eqref {**} y un $x$ en ese intervalo. Entonces, $$|s_n(x) - s_m(x)| \geq |s_n(a) - s_m(a)| - |s_n(x) - s_n(a)| - |s_m(x) - s_m(a)| \geq \epsilon / 2$$

Por lo tanto, $$\exists\epsilon'' > 0, \forall n_0 \exists n,m > n_0, \exists x\in (a,b), |s_n(x) - s_m(x)| > \epsilon''$$ Es decir, la secuencia no es uniformemente cauchy.

El resto consiste en demostrar que una sucesión es uniformemente cauchy si es uniformemente convergente. Así que la afirmación parece correcta.