¿Cuáles son las aplicaciones de las fracciones continuas?

Question

¿Cuál es la forma más motivadora de presentar las fracciones continuas? ¿Existen aplicaciones en la vida real de las fracciones continuas?

Answer 1

Un problema de aplicación muy agradable en la escuela primaria es el problema del promedio de bateo de Gosper: si el promedio de bateo (redondeado a 3 dígitos) de un jugador de béisbol es de $.334$, ¿cuál es el número más pequeño de turnos al bate que podría tener ese jugador? (El promedio de bateo se calcula como (número de hits) / (turnos al bate)).

La solución procede observando que un promedio redondeado de $.334$ corresponde a un número real en el rango $[.3335, .3345)$; encontrar las fracciones continuas para estos valores da como resultado $.3335 = 667/2000 = [0; 2, 1, 666]$ y $.3345 = 669/2000 = [0; 2, 1, 94, 1, 1, 3]$. Esto implica que el número "más simple" dentro del rango es $[0; 2, 1, 95] = \frac{96}{287}\approx 0.334495$.

Answer 2

Dado que nadie lo menciona, creo que es realmente agradable saber que cada enredo racional corresponde a alguna fracción continua (Conway mostró eso).

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Para más información vea:

• Una Enumeración de Nudos y Enlaces, y Algunas de sus Propiedades Algebraicas por Conway

• Otra prueba Sobre la clasificación de enredos racionales

Aquí hay un buen artículo explicativo:

• El Poder de las Matemáticas por Conway

• Enredos Racionales de Conway, un buen artículo educativo

Nota: Fuente de la imagen: http://rationaltangle.wordpress.com/what-are-tanglesrational-tangles/

Answer 3

Aquí hay algunas propiedades/usos que podrían utilizarse para motivar una investigación sobre Fracciones Continuas:

1. Aproximaciones racionales sorprendentemente buenas a números reales
2. Finitas para números racionales y periódicas para números algebraicos cuadráticos
3. Usadas para resolver ecuaciones Diofánticas lineales
4. Usadas para resolver ecuaciones tipo Pell

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Las fracciones continuas son aproximaciones racionales extremadamente buenas a números reales. Si $\frac pq$ es una aproximación en fracción continua para el número real $r$, tenemos $$ \left|\,\frac pq-r\,\right|\le\frac1{q^2}\tag{1} $$ Además, si tenemos $$ \left|\,\frac pq-r\,\right|\le\frac1{2q^2}\tag{2} $$ entonces $\frac pq$ es una aproximación en fracción continua para $r$.

De esta manera, las fracciones continuas ofrecen las mejores aproximaciones racionales a números reales.

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La fracción continua para un número real $r$ termina si y solo si $r$ es racional. Además, la fracción continua para un número real $r$ es periódica si y solo si $r$ no es racional y $ar^2+br+c=0$ donde $a,b,c\in\mathbb{Z}$ no son todos $0$.

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Los convergentes sucesivos, $\frac{p_j}{q_j}$ y $\frac{p_{j+1}}{q_{j+1}}$ de una fracción continua tienen la propiedad $$ p_jq_{j+1}-q_jp_{j+1}=(-1)^j\tag{3} $$ Nótese que $(3)$ implica $$ \frac{p_j}{q_j}-\frac{p_{j+1}}{q_{j+1}}=\frac{(-1)^j}{q_jq_{j+1}}\tag{4} $$ Así, los convergentes sucesivos alternan por encima y por debajo de su límite. $(4)$ muestra por qué $(1)$ es cierto.

Dados $a,b\in\mathbb{Z}$ primos relativos, $(3)$ es muy útil para resolver la ecuación Diofántica $$ ax+by=1\tag{5} $$ Por ejemplo, podemos resolver $23x+17y=1$ calculando la fracción continua para $\frac{23}{17}$: $$ \frac{23}{17}=1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{5}}}\tag{6} $$ El penúltimo convergente es $\frac43$: $$ \frac43=1+\cfrac1{2+\cfrac1{1}}\tag{7} $$ así, $(3)$ dice $$ 4\cdot17-3\cdot23=-1\tag{8} $$ Por lo tanto, tenemos la solución $$ 3\cdot23-4\cdot17=1\tag{9} $$

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La precisión de las aproximaciones en Fracciones Continuas permite la solución de la ecuación de Pell. Por ejemplo, consideremos la fracción continua para $\sqrt3$: $$ \sqrt3=(1,1,2,1,2,\overbrace{1,2,}^{\text{repite}}\dots)\tag{10} $$ Dado que $\left|\frac pq-\sqrt3\right|\le\frac1{q^2}$, tenemos $$ \begin{align} \left|p^2-3q^2\right| &=\left|p-q\sqrt3\right|(p+q\sqrt3)\\ &\lesssim\frac1q\cdot2q\sqrt3\\ &=2\sqrt3\tag{11} \end{align} $$ Así, no importa qué tan grandes sean $p$ y $q$, $p^2-3q^2$ está acotado; de hecho, es periódico. La secuencia de convergentes para $(10)$ es $$ \frac11,\color{#C00000}{\frac21},\frac53,\color{#C00000}{\frac74},\frac{19}{11},\color{#C00000}{\frac{26}{15}},\frac{71}{41},\dots\tag{12} $$ y la secuencia de $p^2-3q^2$ es $$ -2,\color{#C00000}{1},-2,\color{#C00000}{1},-2,\color{#C00000}{1},-2,\dots\tag{13} $$ Por lo tanto, los convergentes en rojo dan soluciones para la ecuación de Pell $p^2-3q^2=1$.

Answer 4

Hay este interesante artículo sobre la aplicación de fracciones continuas en la Filotaxia, la investigación sobre las hojas, que encontré bastante interesante. ¿Quizás puedas encontrar más en Google? ${}{}{}{}{}{}$

Answer 5

Estas pueden no ser las mejores formas de motivar fracciones continuas, pero aquí hay algunas aplicaciones.

Existe un método bien conocido para "codificar" una geodésica en la superficie modular a través de fracciones continuas al observar las expansiones de fracciones continuas de los "puntos finales" de la geodésica en la línea real. Estudiar la fracción continua asociada a una geodésica es una forma de entender cómo la geodésica "se enrolla" alrededor de la superficie. Por ejemplo, si las fracciones continuas son periódicas, entonces la geodésica también será periódica (un bucle cerrado). Si las secuencias de enteros que aparecen en la expansión de la fracción continua contienen todas las secuencias finitas de enteros, entonces la geodésica es densa. Hasta donde sé, la primera vez que se utiliza esto es en un antiguo artículo de Emil Artin, Ein mechanisches System mit quadiergodischen Bahnen. Esta idea se desarrolla y aclara en una serie de artículos de Caroline Series. Ver, por ejemplo, Geometría no euclidiana, fracciones continuas y teoría ergódica.

Más recientemente, las fracciones continuas han surgido en el estudio de la dinámica de flujos en superficies de traslación, un caso especial de estudio de billar en un polígono racional. Por ejemplo, las fracciones continuas y las aproximaciones diofánticas aparecen al estudiar billares en el árbol del viento. Es decir, imagina tomar el plano y colocar obstáculos rectangulares idénticos centrados en cada punto de la malla entera. Ahora considera una masa puntual ideal que rebota entre los obstáculos, reflejándose en los obstáculos de acuerdo con la regla de la óptica geométrica que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Estudiar el movimiento de ese billar (por ejemplo, si hay órbitas periódicas, órbitas densas, órbitas que escapan, órbitas recurrentes, etc.) puede, al menos en algunos casos especiales, reducirse a estudiar fracciones continuas. Ver El modelo de árbol del viento de Ehrenfest: direcciones periódicas, recurrencia, difusión de Hubert, Leliévre, Troubetzkoy y Direcciones divergentes en algunos modelos periódicos de árbol del viento de Delecroix.

Nuevamente, probablemente no son las mejores formas para motivar las fracciones continuas si las estás viendo por primera vez, pero tienen muchas aplicaciones.