¿Cuál es la media y la desviación típica de la división de dos variables aleatorias?

Question

Tengo dos variables aleatorias independientes X e Y distribuidas normalmente y necesito calcular su división Z.

Según tengo entendido la media de Z es $\mu_Z = \frac{\mu_X}{\mu_Y}$ pero no sé cómo calcular la desviación estándar. $\sigma_Z$ .

Es $\sigma_Z = \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}$ ?

Answer 1

El cociente de dos variables aleatorias normales estándar ( $\mu = 0, \sigma = 1$ ) es una distribución de Cauchy. La Cauchy tiene una varianza indefinida (y, por tanto, una desviación típica indefinida). Para otras normales, la distribución es ciertamente compleja.

Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

Por supuesto, para dos muestras a partir de variables aleatorias, puedes calcular lo que quieras. Por ejemplo,

set.seed(20181)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)

ratio <- x1/x2
sd(x1)
sd(x2)
sd(ratio)

La DE de la proporción es de 5,35.

Pero con una semilla diferente, la SD puede ser muy distinta. Hice esto con 3 semillas diferentes y obtuve valores tan altos como 11,21.