Obtención de partículas a partir de campos: ¿problema de normalización o de localización?

Question

Parece que hay algo muy extraño en la relación entre la teoría cuántica de campos y la mecánica cuántica. Me preocupa; quizá alguien pueda ayudarme.

Consideraré un campo libre Klein-Gordon. En los tratamientos estándar (por ejemplo, Peskin & Schroeder y Schwartz) los estados propios del momento de una partícula $| \vec{k} \rangle$ se normalizan de forma que

$$\langle \vec{p} | \vec{k} \rangle = 2 \omega_{\vec{p}} (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{k}), \qquad 1 = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 \omega_{\vec{p}}}| \vec{p} \rangle \langle \vec{p} |.$$ Ahora, suponiendo $\langle \vec{x}' | \vec{x} \rangle = \delta^{(3)}(x-x')$ como de costumbre, se deduce que $$\langle \vec{x} | \vec{p} \rangle = \sqrt{2 \omega_{\vec{p}}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}.$$ Ahora, se puede calcular (aquí en la imagen de Schrodinger; véase Schwartz 2.76 o P&S 2.42) que $$\langle 0 | \phi(\vec{x}) | \vec{p} \rangle = e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}.$$ Se supone que esto significa que $\phi$ crea una partícula localizada en la posición $\vec{x}$ . P&S son un poco cautelosos con los detalles, pero Schwartz afirma que el cálculo implica $$\phi(\vec{x}) |0 \rangle = | \vec{x} \rangle.$$ Pero esto es falso porque $\langle \vec{x} | \vec{p} \rangle \neq e^{i \vec{p} \cdot \vec{x}}$ con las convenciones de normalización utilizadas. Supongo que podría ser cierto con alguna normalización extraña de $| \vec{x} \rangle$ pero no veo qué puede ser (y al menos no se explica en el texto).

Incluso si esto funciona, parece extremadamente extraño que haya una normalización relativa entre los estados de una partícula de la teoría de campos y los estados de una partícula de la mecánica cuántica relativista. Uno debería ser capaz de rehacer la correspondencia para hacer que la normalización funcione, pero no veo cómo. (Nótese que las normalizaciones pueden hacerse coincidir fácilmente en el límite no relativista $\omega \approx m$ pero eso no viene al caso. Incluso si la mecánica cuántica completamente relativista es inconsistente [como afirman algunos textos sin referencia], al menos las correcciones perturbativas para $v \ll 1$ debería poder recuperarse a partir de la teoría de campos).

[ Editar : Esto parece ir más allá de la normalización. Podemos hacernos una idea de qué tipo de estado $\phi(\vec{x})|0\rangle$ es calculando su función de onda en función de $\vec{x}'$ , $$\langle \vec{x}' | \phi(\vec{x}) |0 \rangle = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec{p}}}} e^{i\vec{p} \cdot (\vec{x}-\vec{x}')}.$$ Esta función de onda tiene un pico (creo que divergente) en $\vec{x}'=\vec{x}$ por lo que, en cierto sentido, la partícula está centrada en $\vec{x}$ pero parece bastante exagerado decir que es es en $\vec{x}$ (como los libros). Me atrevería a decir que la afirmación es incorrecta, ya que en mecánica cuántica decir que la partícula está en una posición concreta significa que la función de onda es una función delta allí. Supongo que el mismo lenguaje se utiliza en la imagen de Heisenberg, cuando las funciones de dos puntos se denominan amplitudes para que las partículas se propaguen de un punto del espaciotiempo a otro. Esto parece igualmente falso por el significado convencional de amplitud como la superposición entre dos estados localizados. Se agradecerían palabras de sabiduría].

Answer 1

También podría recopilar mis comentarios, la mayoría borrados, en esta respuesta memo.

Esencialmente, la QFT no quiere que te acerques a los eigenestados de posición del estilo de la QM. El eigenstate del operador de momento, $|p\rangle$ no es el de la QM convencional, ni tiene la misma dimensión. Sin embargo, la QFT claramente no nos anima a buscar un operador de posición fantástico conjugado con el (P&S (2.33)) que enumera P operador que utiliza, y normaliza de forma peculiar. Los ángeles deberían temer pisarlo.

El correspondiente estado conjugado "casi" localizado a este $|p\rangle$ Llamaré $$\bbox[yellow]{|\tilde{x~}\rangle \equiv \phi(x)|0\rangle=\int \frac{d^3{\mathbf p}}{(2\pi)^3} \frac{e^{-i{\bf p\cdot x}}}{2\omega_p} |p\rangle} ~.$$

Schwartz lo califica imprudentemente de $|x\rangle$ invitando a confundirlo con el estado QM estándar localizado en x por una función δ, que nadie usa, necesita o quiere, a causa de paradojas enojosas del tipo que tienes. P&S utilizan sabiamente la constante de proporcionalidad y dejan las cosas vagas y evocadoras, ¡pero no consiguieron evitar tu pregunta! Es sólo el estado único de una partícula centrado en x con esta propiedad de normalización.

La dimensión del momento de la QM $|x\rangle$ es 3/2, mientras que la de $|\tilde{x~}\rangle$ es 1, lo contrario de la QFT $|p\rangle$ que utilizamos en el laboratorio.

Ahora, P&S (2,50-2,52) normalizan efectivamente $|\tilde{x~}\rangle$ que preferiría reescribir como $$\langle 0| \phi(x) \phi(y)|0\rangle=\langle \tilde{x~}|\tilde{y~}\rangle =\frac{m}{4\pi^2 r} K_1(mr),$$ con dimensión de momento 2, bien, donde $r\equiv|{\mathbf x} -{\mathbf y}|$ y $K_1$ es el omnipresente Bessel modificado (Basset) en el origen en la escala de la longitud de onda Compton 1/ m .

A pesar de la ligera singularidad en el origen, $K_1(x)\to 1/x$ como $x\to 0$ se corta rápidamente para un argumento grande x , $\sqrt{\pi/2x} ~e^{-x}$ . Así pues, los Estados $|\tilde{x~}\rangle$ no están tan localizados en x como una función δ QM estropea uno esperar, pero pierden todo el apoyo fuera de 1-2 longitudes de onda Compton de la partícula en cuestión y son tan buenos como localizados. En la Figura de esta función de autocorrelación de paquetes de ondas de igual tiempo, r en la abscisa está en unidades de longitud de onda Compton:

Recordemos que los experimentos de dispersión viven efectivamente en el espacio del momento, detectando los momentos y las energías de los objetos clásicos, las bolitas de BB a este nivel. (La información espacial en los detectores es sólo un medio geométrico clásico de determinar los ángulos de los momentos). La interferencia QM ya ha sido resuelta por la QFT y el teorema de Wick, en esta etapa de detección de estados asintóticos.

Los Estados $|p\rangle$ son prácticamente clásicos: no se comunican/interfieren entre sí, viviendo como viven en sectores de superselección disjuntos del espacio de Fock, totalmente descoherenciados. Por tanto, el paquete de ondas $|\tilde{x~}\rangle$ es prácticamente clásica, y su naturaleza cuántica sólo se pone de manifiesto cuando se opera con más campos cuánticos. En los experimentos de dispersión, nunca se llega a sondear esta ligera no-localidad, de tamaño sub-fermi; pero, quién sabe, en la cosmología más temprana del big-bang, bien podría contemplarse hacerlo.

Estos paquetes de ondas son los conjugados verdaderos (de una partícula) de los estados propios del momento (¡comprobado!), $\langle \tilde{x~}|p\rangle=e^{i{\mathbf x} \cdot {\mathbf p} }$ . Pero tenga en cuenta que esto no es más que una proyección de una sola p de un paquete de ondas clásico: ¡un análisis de Fourier clásico!

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