¿Cómo utilizarías la notación de índices para demostrar que estas ecuaciones vectoriales son iguales?

Question

¿Cómo utilizarías la notación de índices para demostrar que $(\underline{a} \times \underline{b}) \cdot (\underline{a} \times \underline{b}) = |\underline{a}|^{2} |\underline{b}|^{2}-(\underline{a} \cdot \underline{b})^{2}$

Mi intento fue el siguiente:

$(\underline{a} \times \underline{b}) \cdot (\underline{a} \times \underline{b}) = \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k} \\ = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}a_{j}a_{j}b_{k}b_{k} \\ = 6|\underline{a}|^{2} |\underline{b}|^{2}$

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

La primera línea debe ser

$(\underline{a} \times \underline{b}) \cdot (\underline{a} \times \underline{b}) = \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k} \varepsilon_{imn}a_{m}b_{n}$ .

Razón: Los dos productos cruzados son independientes, por lo que debe utilizar índices diferentes para la suma.