Demostración de que la familia de conjuntos de Borel está generada contablemente

Question

Este año estoy haciendo un curso de Teoría de Medidas, y como ejercicio de las clases nos han dado lo siguiente:

Demostrar que B(R) es generada contablemente; es decir, demostrar que los conjuntos de Borel son generados por una clase contable A.

Hemos definido los conjuntos de Borel como:

Sea X un espacio métrico, la familia de conjuntos de Borel en X es el álgebra sigma B(X) generada por la familia de conjuntos abiertos. Un conjunto A en B(X) se llama conjunto de Borel.

Hasta ahora, mis pensamientos están mostrando que los conjuntos de Borel pueden ser generados por los intervalos [q, infinito) donde q es racional.

Me preguntaba si alguien puede ayudarme a formular una prueba de esto, ojalá usando mi idea, ya que no recibimos clases de apoyo o soluciones y realmente me gustaría entender esto. Gracias.

Answer 1

Tu idea es correcta. Tomemos el grupo electrógeno $\mathcal{G} = \{[q, \infty): q \in \mathbb{Q}\}$ y demostrar que cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R}$ puede expresarse como una intersección/unión contable de intervalos en $\mathcal{G}$ o sus complementos.

También es bien sabido que cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es una unión contable de intervalos abiertos, así que ahora has demostrado que $\mathcal{G}$ genera todos los conjuntos abiertos.

Así que concluye que el $\sigma$ -generada por $\mathcal{G}$ est al menos tan grande como el $\sigma$ -generada por los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ . Obviamente, no puede ser mayor (para estar seguro, demuestre que todos los intervalos en $\mathcal{G}$ pueden generarse mediante uniones e intersecciones de conjuntos abiertos y sus complementos).

Answer 2

Creo que tiene razón.
Considere $x \in \mathbb{R}$ y una secuencia $(q_n)$ tal que:
1) $\forall n \in \mathbb{N}, q_n \in \mathbb{Q}$
2) $\forall n \in \mathbb{N}, q_n \leq x$
3) $\lim_{n \to \infty} q_n = x$
(tal secuencia existe puesto que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ )
Entonces $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [q_n, \infty[ = [x, \infty[$
Por lo tanto, los intervalos $[q, \infty[, q \in \mathbb{Q}$ generar los intervalos $[x, \infty[, x \in \mathbb{R}$
Y estos intervalos generan entonces los conjuntos de Borel (puedes demostrarlo fácilmente si no conoces ya el resultado)