Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

4 votos

Demostración de que la familia de conjuntos de Borel está generada contablemente

Este año estoy haciendo un curso de Teoría de Medidas, y como ejercicio de las clases nos han dado lo siguiente:

Demostrar que B(R) es generada contablemente; es decir, demostrar que los conjuntos de Borel son generados por una clase contable A.

Hemos definido los conjuntos de Borel como:

Sea X un espacio métrico, la familia de conjuntos de Borel en X es el álgebra sigma B(X) generada por la familia de conjuntos abiertos. Un conjunto A en B(X) se llama conjunto de Borel.

Hasta ahora, mis pensamientos están mostrando que los conjuntos de Borel pueden ser generados por los intervalos [q, infinito) donde q es racional.

Me preguntaba si alguien puede ayudarme a formular una prueba de esto, ojalá usando mi idea, ya que no recibimos clases de apoyo o soluciones y realmente me gustaría entender esto. Gracias.

4voto

Jose Chama Puntos 1892

Tu idea es correcta. Tomemos el grupo electrógeno G={[q,):qQ} y demostrar que cualquier intervalo abierto en R puede expresarse como una intersección/unión contable de intervalos en G o sus complementos.

También es bien sabido que cualquier conjunto abierto en R es una unión contable de intervalos abiertos, así que ahora has demostrado que G genera todos los conjuntos abiertos.

Así que concluye que el σ -generada por G est al menos tan grande como el σ -generada por los subconjuntos abiertos de R . Obviamente, no puede ser mayor (para estar seguro, demuestre que todos los intervalos en G pueden generarse mediante uniones e intersecciones de conjuntos abiertos y sus complementos).

2voto

Edouard L. Puntos 269

Creo que tiene razón.
Considere xR y una secuencia (qn) tal que:
1) nN,qnQ
2) nN,qnx
3) lim
(tal secuencia existe puesto que \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R} )
Entonces \bigcap_{n \in \mathbb{N}} [q_n, \infty[ = [x, \infty[
Por lo tanto, los intervalos [q, \infty[, q \in \mathbb{Q} generar los intervalos [x, \infty[, x \in \mathbb{R}
Y estos intervalos generan entonces los conjuntos de Borel (puedes demostrarlo fácilmente si no conoces ya el resultado)

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X