Entendiendo esta solución general a la ecuación de onda

Question

Evaluación de la ecuación de onda $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ en $x \in (0,L)$ y $t \in (0,\infty)$ mis apuntes de clase dicen:

Supongamos que la solución es de la forma $$u(x,t) = X(x)T(t)$$ con dos funciones $X:(0,L) \to \mathbb{R}$ y $T:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ .

Mi pregunta es de dónde han sacado esto. Entiendo que la solución de la ecuación de onda se puede dividir en $u(x,t) = f(x+ct) + g(x-ct)$ con funciones $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pero no veo de dónde sacaron $X(x)T(t)$ (mis apuntes de clase impresos no contienen pasos intermedios ni muchas pruebas y me perdí bastantes clases por enfermedad). También mis notas de clase dicen:

Entonces obtenemos $$X''(x) - \lambda X(x) = 0, \quad T''(t) - c^2 \lambda T(t) = 0.$$

¿Y tampoco puedo ver cómo consiguió esto? Puedo obtener el resultado $$X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t)$$ cuando diferencio $u(x,t) = X(x)T(t)$ con respecto a $t$ y $x$ dos veces y luego sustituir de nuevo en la ecuación de onda, pero no puedo ver dónde $\lambda$ ¿De dónde viene? ¿Simplemente aparece sin explicación? Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, la separación de variables (una técnica habitual) es una supuesto que no es válido para todas las soluciones. Por el contrario, sólo sirve para encontrar cierto tipo de soluciones simples (a saber, las separables), y a partir de ahí podemos construir más soluciones por linealidad (toda combinación lineal de soluciones será también una solución, por linealidad). De hecho, estas combinaciones lineales no pueden expresarse generalmente en la forma separada, como por ejemplo $a+b$ no puede expresarse como $f(a)g(b)$ .

En segundo lugar, la idea está separada en dos partes:

$$\frac{T''(t)}{T(t)}=c^2\frac{X''(x)}{X(x)}=?$$

Obsérvese que el LHS es una función de $t$ y no depende de $x$ mientras que el medio es una función puramente de $x$ y no depende de $t$ . Por lo tanto, ambas partes no dependen $t$ o $x$ es una constante fija. Llama a la constante $c^2\lambda$ y ponerlo donde el $?$ es. Después, conviértela en dos ecuaciones separadas y despeja de nuevo los denominadores para obtener $T''=c^2\lambda T$ y $X''=\lambda X$ .