Sobre un ejemplo de función discountinuous en $\mathbb R^2$ .

Question

Escribo un recuerdo mío que no estoy seguro de que sea matemáticamente correcto, mi pregunta será preguntar si es correcto.

En clase hemos observado que las derivadas parciales no son muy satisfactorias a la hora de dar información sobre la continuidad de una función multivariable. (Una función puede ser discontinua en un punto pero tener ambas derivadas parciales).

Como ejemplo tomamos la función definida como $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ cuando $(x,y) \ne (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ .

Y observamos que las derivadas parciales en $(0,0)$ son ambas cero, mientras que la función no es continua en $(0,0)$ porque arreglar $y = x$ obtenemos:

$$\lim_{y \rightarrow 0^-} \frac{y^2}{2 y^2} = \frac{1}{y^2}$$ y esto va a menos infinito, por lo que no al valor de la función que es cero.

Mi pregunta es: ¿es correcto lo que he escrito? Por favor, añada algo si lo desea.

Answer 1

Si arreglas $x=y$ se obtiene $f(y,y) = \frac 1 2 $ . Si arreglas $x = -y$ se obtiene $f(-y,y) = \frac {-1}{2}$ .

Por lo tanto, la función no es continua en cero, ya que la aproximación a cero desde dos direcciones diferentes ( $x=y$ y $x=-y$ ) arrojan límites diferentes.