¿Es el conjunto nulo un subconjunto de todo conjunto?

Question

Desde el primer día de mi curso de Lógica Matemática, este hecho me ha molestado mucho. No puedo entender cómo un conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos posibles. ¿Podría alguien explicarme cómo es esto cierto? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Si te sientes cómodo con la demostración por contrapositiva, entonces puedes preferir demostrar que para cualquier conjunto $A,$ si $x\notin A,$ entonces $x\notin\emptyset$ . Pero por supuesto, $x\notin\emptyset$ es trivial ya que $\emptyset$ no tiene ningún elemento. Por lo tanto, $x\notin A\implies x\notin\emptyset,$ así que por contrapositivo, $x\in\emptyset\implies x\in A,$ que significa $\emptyset\subseteq A$ .

Answer 2

Por definición, $A$ es un subconjunto de $B$ si cada elemento de $A$ está en $B$ .

Si ponemos $A=\emptyset$ entonces la afirmación anterior es una verdad vacía. Cada elemento de $A$ es de hecho un elemento de $B$ ya que el primero no tiene elementos.

Answer 3

Una forma muy sencilla de intentar comprender por qué es así es la siguiente:

Podemos considerar un conjunto cualquiera y tirar todos sus elementos, entonces estamos queda el subconjunto { }. Esto significa que { } es un subconjunto de cualquier conjunto.

Answer 4

Estoy practicando mis habilidades de comprobación de conjuntos, así que bájenme si me equivoco.

Voy a utilizar la contradicción de la prueba como un enfoque alternativo ya que ese enfoque no ha sido mencionado como respuesta en este tema.

Así que queremos probar:

${ \emptyset \subseteq A }$

En otras palabras

${\forall_x [(x \in \emptyset) \to (x \in A)]}$ def. subconjunto

Así que ya que se utiliza la prueba por contradicción, vamos a intentar demostrar lo contrario y esperar encontrar una contradicción.

${\lnot \forall_x [(x \in \emptyset) \to (x \in A)]}$

Después de mover la negación hacia adentro, obtenemos

${\exists_x[(x \in \emptyset) \land \lnot(x \in A)]}$

Así que queremos demostrar que existe un elemento del conjunto vacío que no está en A.

desde ${x \in \emptyset}$ será siempre falsa obtenemos

${\exists_x[F \land \lnot(x \in A)]}$

${\exists_x[F]}$ ley de dominación

Así que no existe tal elemento. Y esto se contradice con nuestra suposición de que tal elemento existe. Por lo tanto, hemos demostrado ${ \emptyset \subseteq A }$

Answer 5

Me siento bastante cómodo con las otras dos respuestas, pero hay una forma más suave de responder a esta pregunta. Creo que se puede formalizar utilizando el Axioma de la Elección (quizás junto con una función $Y\rightarrow \{0,1\}$ ), pero si realmente quieres ser tan formal sólo utiliza uno de los dos argumentos perfectamente buenos de arriba.

Este enfoque suave es el siguiente. Donde $X$ y $Y$ son conjuntos, un subconjunto de $X\subseteq Y$ corresponde a una elección de elementos de $Y$ .

Por ejemplo, cuando $Y=\{1,2,3,4\}$ un subconjunto $X$ se forma respondiendo a las preguntas

$$1\in X?,\,2\in X?,\,3\in X?,\,4\in X?$$

Por ejemplo, el subconjunto $\{1,4\}\subset Y$ corresponde a la elección de uno y cuatro pero no de dos y tres.

Si elegimos todos los elementos de $Y$ tenemos el subconjunto completo y así, como consiste en una elección de elementos de $Y$ --- a saber, todos ellos --- tenemos que

$$Y\subseteq Y.$$

Ahora bien, ¿qué pasa si elegimos ninguno de los elementos de $Y$ ? Se trata de una elección de elementos y por lo tanto es un subconjunto de $Y$ . Es, por supuesto, el conjunto vacío y en este sentido tenemos $$\emptyset\subset Y.$$ Así, un subconjunto corresponde a una elección de elementos de $Y$ Si el conjunto vacío es un subconjunto, la elección de ninguno es una elección y, por tanto, el conjunto vacío es siempre un subconjunto.

Necesitará algunos de los argumentos más formales de arriba para entender por qué $\emptyset\subseteq\emptyset$ .