Sé que esto es un repost de este Sin embargo, tuve algunos problemas para entender las respuestas, ya que soy nuevo en la teoría de números. Pregunté mi duda en un comentario pero no obtuve respuesta.
Una de las respuestas dice:
Un número cuyas cifras son todas iguales y de longitud $3^n$ i forma $c = \sum\limits_{i=0}^{3^n-1} a \cdot 10^i = a \dfrac{10^{3^n}-1}{10-1}$ por la serie geométrica.
Dado que tenemos que tener en cuenta la posibilidad de que $a = 1$ w demostrar que $3^n \mid \dfrac{10^{3^n}-1}9$ es decir $3^{n+2} \mid 10^{3^n}-1$ .
Podemos hacerlo por inducción: El caso base es trivial, supongamos $3^{n+2}\mid 10^{3^n}-1$ .
Entonces tenemos $10^{3^n} \equiv 1 \pmod {3^{n+2}}$ y así: $10^{3^n}\equiv 1 + k 3^{n+2} \pmod {3^{n+3}}$ . Calcule ahora $10^{3^{n+1}} = \left(10^{3^n}\right)^3$ modulo $3^{n+3}$ .
No puedo entender cómo podemos escribir $10^{3^n} \equiv 1 \pmod {3^{n+2}}$ como $10^{3^n} \equiv 1 + k 3^{n+2} \pmod {3^{n+3}}$ . Y cómo proceder para demostrar $10^{3^{n+1}} \equiv 1$ (mod $3^{n+3})$ . Me imaginé que podríamos cubo de ambos lados de $10^{3^n} \equiv 1 + k 3^{n+2} \pmod {3^{n+3}}$ Sin embargo, esto conduce a una gran cantidad de términos adicionales en el lado derecho de la ecuación.
