Si $y=-e^x\cos2x$ demuestre que $\frac{d^2y}{dx^2}=5e^x\sin(2x+\tan^{-1}(\frac{3}{4}))$

Question

Si $y=-e^x\cos2x$ demuestre que $\frac{d^2y}{dx^2}=5e^x\sin(2x+\alpha)$ donde $\alpha=\tan^{-1}(\frac{3}{4})$ .

He conseguido averiguar que

$$ \frac{d^2y}{dx^2}=e^x(4\sin2x+3\cos2x) $$

Pero no estoy seguro de cómo puedo masajearlo en la forma anterior. Wolfram Alpha lo lista como una forma alternativa, pero no muestra cómo llegar a ella: ¿qué tengo que hacer y qué identidades trigonométricas son relevantes en este caso?

Answer 1

Puede utilizar $4=5\cos\alpha$ , $3=5\sin\alpha$ a continuación, utilice la fórmula trigonométrica para $sin(a+b)$ .

Answer 2

$4\sin2x+3\cos2x=5(\frac{4}{5}\sin2x+\frac{3}{5}\cos2x)$

Tenga en cuenta que queremos $\frac{4}{5}\sin2x+\frac{3}{5}\cos2x=\sin(2x+\alpha)$ para algunos $\alpha$ .

Por la fórmula del ángulo compuesto, sabemos $$\sin(2x+\alpha)=\sin2x\cos(\alpha)+\cos2x\sin(\alpha)$$ Por lo tanto, para cumplir el requisito, sólo tenemos que establecer $$\cos(\alpha)=\frac{4}{5},\sin(\alpha)=\frac{3}{5}$$ Tal $\alpha$ existe. Por lo tanto $5(\frac{4}{5}\sin2x+\frac{3}{5}\cos2x)=5\sin(2x+\alpha)$ con $\cos(\alpha)=\frac{4}{5},\sin(\alpha)=\frac{3}{5}$ es decir $\tan(\alpha)=\frac{3}{4}$ .

Answer 3

Utilizar el $a\sin(2x)+b\cos(2x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(2x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(2x)\right)$ y establece $\cos(\phi)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ y $\sin(\phi)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$