integral de superficie mediante sustitución

Question

Estoy atascado intentando calcular la siguiente integral de superficie:

$$\int _{R}\int (x+y)^{2}ds$$

en las siguientes regiones:

$$0\leqslant x+2y\leqslant 2\: \: \wedge \: \: 0\leqslant x-y\leqslant 1$$

Mi profesor nos sugirió utilizar las siguientes sustituciones:

$$u = x -y \: \: \wedge v = x+2y$$

Para encontrar ds he hecho lo siguiente

$$\frac{du}{ds}= \frac{dx}{ds}-\frac{dy}{ds} \: \: \wedge \frac{dv}{ds}= \frac{dx}{ds}-2\frac{dy}{ds} $$ pero no funciona :(

por favor ayuda

Answer 1

Para cualquier difeomorfismo $\phi \colon A \to B$ en conjuntos abiertos $A,B\subset \mathbb{R}^2$ obtienes

$$ \int_B f(x,y) \,d(x,y) = \int_A f(\phi(x,y)) \, |det D\phi| \, d(x,y).$$

Si elige

$$A := \{ (x,y) \mid 0 < x +2y < 2 ,\, 0 < x-y < 1 \} $$ $$ \phi(x,y) := (x+2y,x-y)$$ $$B := (0,2) \times (0,1)$$ $$ f(x,y) := \left(\frac{y+2x}{3}\right)^2$$

y calcula $ |det D\phi| = 3$ y $$\int_0^1 \int_0^ 2 \left(\frac{y+2x}{3} \right)^2 \frac{1}{3} \,dx \,dy= \int_A (x+y)^2 \, dxdy$$

La única dificultad era encontrar una función $f$ con $f(\phi(x,y)) = (x+y)^2$ .

Tenga en cuenta que $A$ y su conjunto $R$ sólo difieren en un conjunto cero.

Answer 2

Dado que desea utilizar la transformación $u = x-y$ y $v=x+2y$ el problema se reduce a evaluar $$\int_0^1\int_0^2 \left(\frac{2u+v}{3}\right)^2\frac{1}{3}dudv$$

Answer 3

$$0\leqslant x+2y\leqslant 2\: \: \wedge \: \: 0\leqslant x-y\leqslant 1 \iff 0\leqslant x\leqslant \frac43\: \: \wedge \: \: \frac{-x}{2}\leqslant y\leqslant 1+\frac{-x}{2}$$ así que primero integra a lo largo de $y$ como $x$ fuera una constante y luego integrar a lo largo de $x$ .