¿Dónde está mi defecto? (El mapa $\pi \mapsto \varphi_\pi$ es un homomorfismo)

Question

Sea $G_1=G_2=\dots=G_n$ y que $G=G_1 \times G_2 \times \cdots G_n$ . Para una permutación $\pi \in S_n$ defina $$\varphi_\pi:G \to G$$ según la norma $$\varphi_\pi(g_1,\dots,g_n)=(g_{\pi^{-1}(1)},\dots,g_{\pi^{-1}(n)}). $$ Estoy obligado a demostrar que $\Phi:\pi \mapsto \varphi_\pi $ es un homomorfismo. He aquí mi intento (fallido):

Vemos cómo $\Phi(\pi_1 \pi_2)$ actúa sobre un elemento general $g=(g_1,\dots,g_n)$ del producto:

$$ \begin{align*} \Phi(\pi_1 \pi_2)(g) &= \varphi_{\pi_1 \pi_2}(g_1,\dots,g_n) \\ &= (g_{(\pi_1 \pi_2)^{-1} (1)},\dots,g_{(\pi_1 \pi_2)^{-1}(n)})\\ &= (g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(1))},\dots,g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(n))}) \\ &= \varphi_{\pi_2}(g_{\pi_1^{-1}(1)},\dots,g_{\pi_1^{-1}(n)}) \\ &= \varphi_{\pi_2} \circ \varphi_{\pi_1}(g) \\ &= \left(\Phi(\pi_2) \circ \Phi(\pi_1) \right)(g) \end{align*}$$

Parece que he conseguido $\Phi(\pi_1 \pi_2)=\Phi(\pi_2) \Phi(\pi_1)$ en lugar de la ley de homomorfismo habitual. ¿En qué me he equivocado?

P.D.

Tal y como yo lo veo, aplicar $\varphi_\pi$ a un $n$ -tupla significa, aplicando la permutación inversa $\pi^{-1}$ a cada uno de los subíndices. ¿Podría ser éste mi problema?

Answer 1

Es más fácil trabajar hacia atrás.

Puede pensar en el $k^\text{th}$ elemento de $\phi_\pi(\mathbf{g})$ como tomar la $\pi^{-1}(k)$ -ésimo elemento de $\mathbf{g}$ .

Así que $\phi_{\pi_1}(\phi_{\pi_2}((g_1,g_2,\ldots,g_n)))=\phi_{\pi_1}((g_{\pi_2^{-1}(1)},g_{\pi_2^{-1}(2)},\ldots,g_{\pi_2^{-1}(n)}))$

Y luego el $k^\text{th}$ del resultado será el elemento $\pi_1^{-1}(k)$ -ésimo elemento del que está entre paréntesis, que es $g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(k))}$ .

Así que $\phi_{\pi_1}((g_{\pi_2^{-1}(1)},g_{\pi_2^{-1}(2)},\ldots,g_{\pi_2^{-1}(n)}))=(g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(1))},g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(2))},\ldots,g_{\pi_2^{-1}(\pi_1^{-1}(n))})$ .

Answer 2

El problema está en la cuarta ecuación. La acción de una permutación permuta puestos no subíndices. Por ejemplo $\pi=(1,2,3)$ entonces $$ \varphi_\pi (g_2,g_1,g_3)=(g_3,g_2,g_1) $$ y no $$ (g_{\pi^{-1}(2)}, g_{\pi^{-1}(1)}, g_{\pi^{-1}(3)})=(g_1, g_3, g_2). $$