Estrellas y barras Pregunta sobre el número de soluciones

Question

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $x+y+z = 9$ si $x, y, \text{and }z$ son no negativos con la restricción $x \le y\le z$ ?

Para este problema tengo hasta ahora la idea de dividir $x$ en casos. Como si $x=0$ entonces $y$ oscila entre $(0-4) \text{ while $ z $ ranges from } z= 9 - y$ . Pero, ¿cómo puedo hallar el número de soluciones utilizando esta idea?

Answer 1

Sabemos que el número total de soluciones de la ecuación viene dado por $\binom{11}{9} = 55$ . De estos $55$ existen determinados conjuntos de soluciones en los que un número aparece más de una vez.

Existen $3$ permutaciones para los elementos de los conjuntos solución que tienen $2$ números idénticos, que son $(0,0,9), (1,1,7), (2,2,5),(1,4,4)$ y sólo hay $1$ permutación para el conjunto que tiene todos $3$ números idénticos, es decir $(3,3,3)$ . es decir, hay un total de $3.4 + 1 = 13$ conjuntos de soluciones en estos $55$ que tenga al menos dos elementos idénticos. De ello se deduce que $55-13 = 42$ los conjuntos solución tienen todos los elementos distintos.

Ahora, recuerda que los elementos solución conjunto que tienen elementos distintos pueden permutarse en $3! = 6$ maneras. Pero sólo queremos el caso en el que están dispuestas en orden creciente. Por tanto, los casos en los que las distintas soluciones están en orden creciente vienen dados por $42/6 = 7$ .

Además, como ya se ha comentado, también hay algunos conjuntos de soluciones que tienen $2$ elementos idénticos, y también todos $3$ idénticos, que son $(0,0,9), (1,1,7), (2,2,5),(1,4,4), (3,3,3)$ . No queremos contar sus permutaciones. Por lo tanto, hay $5$ de estos casos.

Por lo tanto, el número total de soluciones que satisfacen su condición son $\fbox{7+5 = 12}$ .