Quiero calcular $\int_{1}^{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{e^{nx}}\, dx$ y sé que la respuesta es $\frac{e}{e^{2}-1}$ pero con mi método he encontrado algo diferente ¿dónde está mi error?
deje $\frac{n}{e^{nx}}=n(e^{-x})^{n}$ et $(e^{-x})=y \Rightarrow$ $ny^n=\frac{n}{e^{nx}}\Rightarrow$
$\sum_{m=1}^{\infty }y^n= \frac{1}{1-y}\Rightarrow $ Tomo la derivada con respecto a $y\Rightarrow$
$\sum_{m=1}^{\infty }ny^{n-1}= \frac{1}{(1-y)^2}$ $\Rightarrow $ $\sum_{m=1}^{\infty }ny^n= \frac{y}{(1-y)^2}$
$\Rightarrow$ $\int_{1}^{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{e^{nx}}\, dy =\int_{1}^{2} \frac{y}{(1-y)^2}= \left [ \frac{-1}{1-y}\right ]_{1}^{2}$
y después de hacer algunos cálculos, mi respuesta fue diferente de $\frac{e}{e^{2}-1}$ ¿alguien puede explicar como resolver esto y por que no funciona?
