$(x_n)_{n\gt1}$ es una secuencia tal que $x_n$ es el número más pequeño para el que $\sum_{i=1}^{x_n}\frac{1}{i}\geq n$ es cierto.
Encuentre $\lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$ .
He buscado en OEIS - A002387 los valores de la secuencia y he averiguado que el límite debería ser $e$ .
Lo que probé:
En $H_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\ln n\ + c_n$ He obtenido $n = e^{{H_n}-c_n} $ así que $x_n = e^{{H_{x_n}}-c_{x_n}} $ y desde aquí
$\frac{x_{n+1}}{x_n}=e^{{H_{x_{n+1}}}-c_{x_{n+1}}-{H_{x_n}}+c_{x_n}}$ .
En $n \to \infty$ , $c_n\to\gamma$ (y porque $x_n\to\infty$ como $n \to \infty$ ) $\implies c_{x_n} \to\gamma$ .
Así que si pudiera probar que ${H_{x_{n+1}}}-{H_{x_n}}\to1$ como $ n\to\infty$ el límite sería $e^1$ .
Intenté encontrar un límite inferior y superior para utilizar el teorema del estrujamiento, pero sólo conseguí demostrar que $2\geq{H_{x_{n+1}}}-{H_{x_n}}\geq0$ utilizando $n+1\gt\sum_{i=1}^{x_n}\frac{1}{i}\geq n$ .
¿Cómo puedo demostrar que ${H_{x_{n+1}}}-{H_{x_n}}\to 1$ ?
