Desde entonces he visto pruebas más concisas, pero tengo curiosidad por saber si esto funciona. Si f es diferenciable en un punto interior $z_0$ entonces: $\forall\epsilon>0,\exists \delta_1>0$ tal que
$|z-z_0|<\delta_1\implies|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)|<\sqrt{\epsilon/2}$ .
Mi principal preocupación es esta parte; ¿es válido tener $\sqrt{\epsilon/2}$ en lugar de $\epsilon$ . He visto $c\epsilon$ utilizado con $c>0$ . Pensé que hacer esto era válido porque $\epsilon$ y $c\epsilon$ tienen el mismo rango para $\epsilon>0$ . Si este es el caso $\sqrt{\epsilon/2}$ también debería ser válida, ¿no? También utilizo $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)=0$ :
$\forall\epsilon>0,\exists \delta_2>0$ tal que $|z-z_0|<\delta_2\implies|z-z_0|<\sqrt{\epsilon/2}$
y $\lim_{z\to z_0}f'(z_0)(z-z_0)=0$ :
$\forall\epsilon>0,\exists \delta_3>0$ tal que $|z-z_0|<\delta_3\implies|z-z_0||f'(z_0)|<\epsilon/2$
Sea $\delta=min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}$ .
$|f(z)-f(z_0)|=|z-z_0||\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}+f'(z_0)-f'(z_0)|$
$\leq |z-z_0||\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)|+|z-z_0||f'(z_0)|$
$<\sqrt{\epsilon/2}\sqrt{\epsilon/2}+\epsilon/2=\epsilon$
Gracias
EDITAR:
Olvidé la última línea:
Por lo tanto $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta=min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}$ tal que:
$0<|z-z_0|<\delta\implies|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$
Por lo tanto la diferenciabilidad en z_0 implica continuidad en z_0
